2022—2022学年度上学期高中学段高三联合考试高三年级数学（理）科试卷答题时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.集合，，则（）AB.C.D.2.函数的定义域为（）A.B.C.D.3.命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）A.若α≠，则tanα≠1B.若α=，则tanα≠1C.若tanα≠1，则α≠D.若tanα≠1，则α=4.已知函数（其中）的图象如右图所示，则函数的图象是下图中的（）14\nABCD5.若函数的导函数，则使得函数单调递减的一个充分不必要条件是()A．[0，1]B．[3，5]C．[2，3]D．[2，4]6.设若，则的值是()A.-1B.2C.1D.-27.下面几个命题中，假命题是（）A.“若,则”的否命题；B.“，函数在定义域内单调递增”的否定；C.“是函数的一个周期”或“是函数的一个周期”；D.“”是“”的必要条件.8.设均为正数，且，，，则()A..BC.D.14\n9.如图，目标函数仅在封闭区域内（包括边界）的点处取得最大值，则的取值范围是（）ABCD10.若定义在上的函数满足：对于任意有，且时，有，设在区间上的最大值，最小值分别为，则的值为（）A.B.C.D.11.函数，则下列说法中正确命题的个数是（）①函数有3个零点；②若时，函数恒成立，则实数的取值范围是；③函数的极大值中一定存在最小值；④，，对于一切恒成立．A.B.C.D.12.已知函数在上非负且可导,满足，，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.第II卷14\n二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知定义在上的偶函数满足对于恒成立，且，则________；14．不等式组表示的平面区域为，若对数函数上存在区域上的点，则实数的取值范围是__________.15.关于的方程的两实根为，若，则的取值范围是________16．如图2所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，，，…，则第10行第3个数（从左往右数）为____.三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）17．（本小题满分10分）记函数的定义域为A，的定义域为B．（1）求集合A；（2）若，求实数的取值范围．18.（本小题满分12分）14\n在数列中，已知，其前项和满足.(1)求的值；(2)求的表达式；(3)对于任意的正整数，求证：.19.（本小题满分12分）年世博会在上海召开，某商场预计年从月起前个月顾客对某种世博商品的需求总量；（1）写出第个月的需求量的表达式；（2）若第个月的销售量（单位：件），每件利润，求该商场销售该商品，预计第几个月的月利润达到最大值？月利润的最大值是多少？20．（本小题满分12分）已知函数.(Ⅰ)讨论函数的单调区间；(Ⅱ)若在恒成立，求的取值范围.21.(本小题满分12分)已知直线，,直线14\n被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等,椭圆的离心率(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过点(，)的动直线交椭圆于、两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．22．(本小题满分12分)已知函数(Ⅰ)求函数的单调区间；(Ⅱ)试探究函数在定义域内是否存在零点，若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由；(Ⅲ)若，且在上恒成立，求实数的取值范围2022—2022学年度上学期高中学段高三联合考试理科数学参考答案一.1-----12CDCACBDACDBA二.13.114.15.16．三.17.解析：（1）；（2）14\n18.[解析]1.(1)依次令可得，，； (2)法一：由⑴猜想，下面用数学归纳法证明：①当时结论显然成立；②假设时结论成立，即，则，故当时结论成立。综上知结论成立。法二：猜想，下面用第二数学归纳法证明：①当时结论显然成立；②假设时结论成立，即，则法三：，所以，同除得，时，，故，因此。又，故。(3)法一：由(2)知为等差数列，故。由知一定时，要使最小，则最大。显然，故，因此，两边同除从而。法二：因为，所以14\n，，故，所以因此，从而，即。法三：(i)当时不等式显然成立；(ii)假设时不等式成立，即，则如“法二”可证，故，即当时不等式成立。综上得证。19.解：（1）当时，；（2分）当时，也满足，故（4分）（2）设该商场第个月的月利润为元，则①当且时，，由，14\n在区间上单调递增，在区间上单调递减，，（8分）②当且时，，由，在区间上单调递增，在区间上单调递减，，（11分）综上，第个月时，最大利润为元（12分）20．解：（Ⅰ）当时，单调递减，单调递增。当时，单调递增。…………………4分（Ⅱ），得到令已知函数单调递减，单调递增。14\n，即，在单调递减，在，，若恒成立，则。……………12分21．【解析】(Ⅰ)则由题设可求的，………………………2分又所以椭圆C的方程是．………………………………………4分(Ⅱ)解法一：假设存在点T（u,v）．若直线l的斜率存在，设其方程为，将它代入椭圆方程，并整理，得．……………………………5分设点A、B的坐标分别为，则因为及所以……………………8分当且仅当恒成立时，以AB为直径的圆恒过定点T，……………………9分14\n所以解得此时以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）．………………………………………………10分当直线l的斜率不存在，l与y轴重合，以AB为直径的圆为也过点T（0，1）．综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1），满足条件．……………………………………12分解法二：若直线l与y轴重合，则以AB为直径的圆是若直线l垂直于y轴，则以AB为直径的圆是………………………………6分由解得．由此可知所求点T如果存在，只能是（0，1）．………………………………7分事实上点T（0，1）就是所求的点．证明如下：当直线l的斜率不存在，即直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆为，过点T（0，1）；当直线l的斜率存在，设直线方程为，代入椭圆方程，并整理，得……………8分设点A、B的坐标为，则因为，14\n所以，即以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）……………………………11分综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件．…………………………………12分22．[解析](Ⅰ)由，当时，则有函数在区间单调递增；当时，,，函数的单调增区间为，单调减区间为，综合①②的当时，函数的单调增区间为；当时，函数的单调增区间为，单调减区间为.（5分)(Ⅱ)函数定义域为，又，令，则，(7分)，故函数在上单调递减，在上单调递增，14\n，(8分)有由（1）知当时，对，有，即，当且趋向0时，趋向，随着的增长，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢。故当且趋向时，趋向，得到函数的草图如图所示，故①当时，函数有两个不同的零点；②当时，函数有且仅有一个零点；③当时，函数无零点；(10分)（3）由（2）知当时，，故对，先分析法证明：要证只需证14\n即证构造函数故函数在单调递增，，则成立.(12分)①当时，由（1）知，函数在单调递增，则在上恒成立.②当时，由（1）知，函数在单调递增，在单调递减，故当时，，所以，则不满足题意.综合①②得，满足题意的实数的取值范围.(14分)14
