辽宁省阜新二高2022-2022学年高二数学下学期寒假验收考试试题考试时间：120分钟总分：150分一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分，每小题给出的4个选项中，只有一选项是符合题目要求的)1.若集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B={x|x＜1}，则A∩B等于（ ）A．（1，3）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣3，1）2.从编号为1，2，…，80的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为8的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为（ ）A．1B．2C．3D．43.在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若S△ABC=（其中S△ABC表示△ABC的面积），且（+）•=0，则△ABC的形状是（ ）A．等腰直角三角形B．等边三角形C．直角三角形D．有一个角是30°的等腰三角形4.已知数列{an}是等比数列，且a1=，a4=-1，则{an}的公比q为（ ）A.2B.C.-2D.5.5位同学站成一排照相，其中甲与乙必须相邻，且甲不能站在两端的排法总数是（ ）A..40B.36C.32D.246.抛物线y=3x2的焦点坐标是（ ）A．B．C．D．7.若焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率是，则m等于（ ）A．B．C．D．8.已知命题p：x∈A∪B，则非p是（ ）A．x不属于A∩BB．x不属于A或x不属于BC．x不属于A且x不属于BD．x∈A∩B9.已知两定点F1（﹣5，0），F2（5，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=2a，则当a=3和5时，P点的轨迹为（ ）-9-\nA．双曲线和一条直线B．双曲线和一条射线C．双曲线的一支和一条直线D．双曲线的一支和一条射线10.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为．若a2sinC=4sinA，（a+c）2=12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为（ ）A．B．2C．3D．11.．如图，设抛物线y=﹣x2+1的顶点为A，与x轴正半轴的交点为B，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M，随机往M内投一点P，则点P落在△AOB内的概率是（ ）A．B．C．D．12.设函数f（x）=ex（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（ ）A．[）B．[）C．[）D．[）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上）13.复数2-i（i为虚数单位）的虚部为14.已知x，y∈R+，且满足x+2y=2xy，那么x+4y的最小值为。15.把8个相同的篮球任意分发给甲、乙、丙、丁4所中学，不同的分法共有多少种。16.如图，O为△ABC的外心，AB=4，AC=2，∠BAC为钝角M是边BC的中点，则•的值为三、解答题：（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）-9-\n17.（本小题满分10分）有编号分别为1、2、3、4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子．问：（1）共有多少种放法？（2）恰有一个空盒，有多少种放法？（3）恰有2个盒子内不放球，有多少种放法？18.（本小题满分12分）△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若cos（π﹣B）=﹣．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a=4，c=2，求b和A的值．19（本小题满分12分）.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD=1．（1）证明：平面PQC⊥平面DCQ（2）求二面角B﹣PC﹣Q的余弦值．20.（本小题满分12分）已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．21.（本小题满分12分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线的距离为．（I）求椭圆的和抛物线的方程；（II）设-9-\n上方程两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为，求直线AP的方程．22.（本小题满分12分）设函数f（x）=lnx+，m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．-9-\n高二理数答案一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.C2.B3.A4.C5.B6.D7.B8.C9.D10.A11.C12.D二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上）11．－112．15.165.16..5三、解答题：（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）18解：（I）∵，∴，∴…4分（II）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=16+4﹣8=12，解得…7分由正弦定理可得，即，故…10分19.答案解：（1）由题意可得QA⊥平面ABCD，∴QA⊥CD．由四边形ABCD为正方形知DC⊥AD，又QA、AD⊂平面PDAQ，QA∩AD=A，∴CD⊥平面PDAQ，∴CD⊥PQ．在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，∴PQ2+DQ2=PD2．由勾股定理得逆定理得：PQ⊥QD．又CD、QD为平面ADCB内两条相交直线，∴PQ⊥平面DCQ．再由PQ⊂平面PQC，可得平面PQC⊥平面DCQ．（2）如图，建立以D为坐标原点，DA，DP，DC分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：∵QA=AB=PD=1，∴PD=2，则Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0），B（1，0，1），=（1，0，0），=（﹣1，2，﹣1）．设=（x，y，z）是平面的PBC法向量，则，即，-9-\n可取=（0，﹣1，﹣2）．同理求得平面PCQ的法向量=（x，y，z）．则=（0，﹣2，1），=（﹣1，1，0），则，令y=1，则x=1，z=2，即=（1，1，2）．所以cos＜，＞====﹣，∵二面角B﹣PC﹣Q是锐二面角，即二面角二面角B﹣PC﹣Q的余弦值为．20.解：（Ⅰ）等差数列{an}，a1=1，a2+a4=10，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2，所以{an}的通项公式：an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a5=a1+4d=9，等比数答案列{bn}满足b1=1，b2b4=9．可得b3=3，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）．∴q2=3，{b2n﹣1}是等比数列，公比为3，首项为1．b1+b3+b5+…+b2n﹣1==．21.（Ⅰ）解：设F的坐标为（﹣c，0）．-9-\n依题意可得，解得a=1，c=，p=2，于是b2=a2﹣c2=．所以，椭圆的方程为x2+=1，抛物线的方程为y2=4x．（Ⅱ）解：直线l的方程为x=﹣1，设直线AP的方程为x=my+1（m≠0），联立方程组，解得点P（﹣1，﹣），故Q（﹣1，）．联立方程组，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my=0，解得y=0，或y=﹣．∴B（，）．∴直线BQ的方程为（﹣）（x+1）﹣（）（y﹣）=0，令y=0，解得x=，故D（，0）．∴|AD|=1﹣=．又∵△APD的面积为，∴×=，整理得3m2﹣2|m|+2=0，解得|m|=，∴m=±．∴直线AP的方程为3x+y﹣3=0，或3x﹣y﹣3=0．22.解：（Ⅰ）当m=e时，f（x）=lnx+，-9-\n∴f′（x）=；∴当x∈（0，e）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，e）上是减函数；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上是增函数；∴x=e时，f（x）取得极小值为f（e）=lne+=2；（Ⅱ）∵函数g（x）=f′（x）﹣=﹣﹣（x＞0），令g（x）=0，得m=﹣x3+x（x＞0）；设φ（x）=﹣x3+x（x＞0），∴φ′（x）=﹣x2+1=﹣（x﹣1）（x+1）；当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，1）上是增函数，当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上是减函数；∴x=1是φ（x）的极值点，且是极大值点，∴x=1是φ（x）的最大值点，∴φ（x）的最大值为φ（1）=；又φ（0）=0，结合y=φ（x）的图象，如图；可知：①当m＞时，函数g（x）无零点；②当m=时，函数g（x）有且只有一个零点；③当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点；④当m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；综上，当m＞时，函数g（x）无零点；当m=或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点；（Ⅲ）对任意b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；-9-\n设h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0），则h（b）＜h（a）．∴h（x）在（0，+∞）上单调递减；∵h′（x）=﹣﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，∴m≥﹣x2+x=﹣+（x＞0），∴m≥；对于m=，h′（x）=0仅在x=时成立；∴m的取值范围是[，+∞）．-9-
