程溪中学2022届高三模拟测试数学（理）试题一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,将正确答案填写在答题卷相应位置．）1.已知集合M={1,2}，N={−1｜∈M}，则M∪N等于（）A．{1,2,3}B．{1,2}C．{1}D．Æ2．复数，若的对应点位于直线x+y=0上，则实数b的值（）A．-3B．3C．-D．3.a的值由右边程序框图算出，则二项式展开式的常数项为（）A.B.C.D.4.函数的图象为C，给出以下结论：（）①图象关于直线对称；②图象关于点对称；③函数在区间内是增函数；④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C．其中正确的是A.①②④B.①③④C.①②③D.②③④5．用若干个棱长为1cm的小正方体叠成一个几何体，图1为其正视图，图2为其俯视图，若这个几何体的体积为7cm3，则其侧视图为（）6．已知不等式组表示的平面区域为D，若直线将区域D分成面积相等的两部分，则实数的值是（）A．B．C．D．7．如图，设点是单位圆上的一定点，动点从出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点13所转过的弧的长为，弦的长度为，则函数的图像大致是（）8．已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为（ ）A．B．C．D．不存在9．若双曲线的左右焦点分别为、，线段被抛物线的焦点分成的两段，则此双曲线的离心率为()A．B．C.D.10．如图，从点发出的光线，沿平行于抛物线的对称轴方向射向此抛物线上的点P，反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q，再经抛物线反射后射向直线上的点N，经直线反射后又回到点M，则等于（）A．5B．6C．7D．8第II卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填写在答题卡的相应位置11．已知角α的终边在直线上，则_________．12．P为抛物线上一动点，则点P到y轴距离和到点A距离之和的最小值等于．13．已知，则的值等于_．14．某单位购买6张北京奥运会某场比赛门票，其中有2张甲票，其余为乙票，三名职工从中各抽一张，至少有一人抽到甲票的抽法为．15．已知函数f(x)=－x3+ax2+bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与x轴在原点相切，且x轴与函数图象所围成的区域（如图阴影部分）的面积为，则a=．三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。1316.(本小题满分13分)已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．(Ⅰ)求此几何体的体积；(Ⅱ)求异面直线与所成角的余弦值；(Ⅲ)探究在上是否存在点Q，使得，并说明理由．17.(本小题满分13分)对某班级50名同学一年来参加社会实践的次数进行的调查统计，得到如下频率分布表：参加次数0123人数0.10．20.40.3根据上表信息解答以下问题：(Ⅰ)从该班级任选两名同学，用η表示这两人参加社会实践次数之和，记“函数在区间，内有零点”的事件为，求发生的概率；(Ⅱ)从该班级任选两名同学，用ξ表示这两人参加社会实践次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ.18.（本小题满分13分）椭圆：与抛物线：的一个交点为M，抛物线在点M处的切线过椭圆的右焦点F．(Ⅰ)若M，求和的标准方程；（II）求椭圆离心率的取值范围．19．（本小题满分13分）某装修公司根据客户要求装饰一个墙角，施工设计时，在墙面交线AB与天花板ACD之间拉一条“定位线”EF（如图），已知墙面交线AB、AC、AD两两垂直，且AB=2，AC=AD=3。（单位：分米）（Ⅰ13）若点E、F分别为AB、CD的中点，请指出此时直线EF与直线BC的位置关系（直接写出结论）；（Ⅱ）若E、F分别在AB、天花板ACD上运动时，始终保持“定位线”EF的长为定值2，记EF的中点为G，试探究线段AG的长是否也为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，客户提出在点G处安装一盏装饰灯，为了美观和更好地散热，需将灯安装在与天花板ACD的距离为且与另两墙距离之和最大处，求此时直线AG平与面BCD所成角的正弦值。20.（本小题满分14分）已知函数f(x)=m(x－1)2－2x+3+lnx（m≥1）．(Ⅰ)当时，求函数f(x)在区间[1，3]上的极小值；（Ⅱ）求证：函数f(x)存在单调递减区间[a，b]；（Ⅲ）是否存在实数m，使曲线C：y=f(x)在点P（1，1）处的切线l与曲线C有且只有一个公共点？若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理由．21.本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与交换已知二阶矩阵，矩阵M对应的变换将点（2，1）变换成点（4，-1）。求矩阵M将圆变换后的曲线方程。（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标与参数方程以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为，圆C的参数方程为，（13为参数），求直线被圆C截得的弦长。（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知a，b，c为实数，且（I）求证：（II）求实数m的取值范围。13参考答案选择题：题号12345678910答案AACCCCCADB填空题：11.或12.13.1514.1615.－1三、解答题：16解：（Ⅰ）由该几何体的三视图可知垂直于底面，且，，，，此几何体的体积为；3分成角，在中，，，·；即异面直线与所成角的余弦值为。7分·（Ⅲ）在上存在点Q，使得；取中点，过点作于点，则点为所求点；连接、，在和中，，∽，，，，，，，13，以为圆心，为直径的圆与相切，切点为，连接、，可得；，，，，·，；13分·解法二：（Ⅰ）同上。（Ⅱ）以为原点，以、、所在直线为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，得，，，又异面直线与所成角为锐角，可得异面直线与所成角的余弦值为。13与为互斥事件，由互斥事件有一个发生的概率公式得：，……………………………………6分(Ⅱ)根据频率分布得到頻数分布：参加次数0123参加人数5102015从该班级任选两名同学，用表示这两人参加社会实践次数之差的绝对值，则的可能取值分别是0，1，2，3，………………………………………………………9分于是：13又M在椭圆上所以，解得，，故：…………6分（Ⅱ）设M，由得，从而在点M处的切线方程为…………8分设F，代入上式得，因为，所以…………10分13又，所以，…………11分从而，即，，，所以椭圆离心率的取值范围为.…………13分分xzGBDCAEFy由（Ⅱ）有，从而，而点G到另两个墙面的距离之和为．由，∴，即当且仅当时取等号----------------10分此时13设面BCD的法向量为，由得----------11分设直线AG与平面BCD所成角为，有即：直线AG与平面BCD所成角的余弦值为---------------------------------------13分注：“”的证明若采用柯西不等式、三角换元、直线和圆的关系等方法求解，同样给分．20.解：(Ⅰ)（x>0）．当时，，令，得x1=2，x2=．f(x)，的变化情况如下表：x(0，)（，2）2（2，+∞）+0－0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，当x＝2时，函数f(x)取到极小值，且极小值为f(2)=ln2－．………………4分（Ⅱ）令＝0，得mx2－(m+2)x+1=0．（*）因为△＝(m+2)2－4m=m2+4>0，所以方程（*）存在两个不等实根，记为a，b（a<b）．因为m≥1，所以所以a>0，b>0，即方程（*）有两个不等的正根，因此<0的解为（a，b）．故函数f(x)存在单调递减区间．…………………………8分1321.（1）解：由已知得设点是圆上的任意一点，变换后的点为则，所以（2）解：由=12。将圆的参数方程化为普通方程为圆心为C（0，0），半径为10。∴点C到直线的距离为13被圆截得的弦长为13</b）．因为m≥1，所以所以a>
