福建省福州市第八中学2022-2022学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题：（共10小题，每小题5分，共50分）1.在复平面内，复数对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.用反证法证明命题：“如果，那么”时，假设的内容应是A．B．C．D．且3.曲线在点（－1，－3）处的切线方程是A．B．C．D．4.在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有A．①③B．②③C．①④D．③④5.对于非零复数，以下有四个命题：①；②；③若，则；④若则或a=0.则其中一定为真命题的是（）A．②④B．①③C．①②D．③④6.利用数学归纳法证明(n∈N*，且n≥2)时，第一步不等式左端是A．B．C．D．-8-\n7.函数，则的值为A.B.C.D.8.设椭圆的左、右焦点分别为，以为圆心，（为椭圆中心）为半径作圆，若它与椭圆的一个交点为，且恰好为圆的一条切线，则椭圆的离心率为A．B．C．D．9.在四棱锥中，底面是正方形，为中点，若，，，则A.B.C.D.10.当时，函数的图象大致是二.填空题：（5小题，每小题4分，共20分）11.函数的单调递增区间为_______________.12.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CC1中点为E，则直线AE与BC1所成的角的大小为．13.设a＝，b＝，c＝，则a、b、c的大小关系为________．（按从大到小的顺序排列，否则不给分）14.已知点是函数的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立．运用类比思想方法可知，若点是函数的图象上任意不同两点，则类似地有___________________.15.已知，定义．经计算，照此规律，则三、解答题：（3小题，共30分）-8-\n16.（本小题10分）复数，若1＋z2是实数，求实数a的值.17.（本小题10分）设函数，其中.①若在处取得极值，求常数a的值；②若在上不单调，求a的取值范围.18.（本小题10分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点，E为CB1与BC1的交点.(1)求证：DE∥平面ACC1A1；(2)求直线BC1与平面DB1C所成角的正弦值.第Ⅱ卷（共50分）一、选择题：（2个小题，每小题5分，共10分）19.双曲线的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点在“上”区域内，则双曲线离心率的取值范围是A．B．C．D）20.已知数列，，把数列的各项排成三角形状，如图所示．记表示第m行，第n列的项，则=.A.B.C.D.二、填空题：（1个小题，共4分）-8-\n21.设定义在D上的函数在点处的切线方程为，当时，若在D内恒成立，则称P点为函数的“类对称中心点”，则函数的“类对称中心点”的坐标是__________________.三、解答题：（3个小题，共36分）22.（本小题12分）在四棱锥P-ABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，，，．(I)求证：BC平面PBD；(II)问侧棱PC上是否存在异于端点的一点E，使得二面角E－BD－P的余弦值为．若存在，试确定点E的位置；若不存在，说明理由．23.（本小题12分）如图，直线，抛物线，已知点在抛物线上，且抛物线上的点到直线的距离的最小值为．(I)求直线及抛物线的方程；(II)过点的任一直线（不经过点）与抛物线交于.两点，直线与直线相交于点，记直线，，的斜率分别为，，．判断由、、这三个数（可随意改变顺序）能否构成等差数列，若能构成等差数列，请证明之；若不能，请说明理由．24.（本小题12分）已知，.（Ⅰ）求函数的最小值；（Ⅱ）对一切恒有成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）当，求证：．-8-\n福州八中2022—2022学年第一学期期末考试高二数学（理）试卷参考答案及评分标准第I卷（共100分）18.【解析】（本小题10分）【解析】(Ⅰ)∵E为CB1与BC1的交点，∴E为BC1的中点，又点D是AB的中点，即DE为三角形ABC1的中位线，∴DE∥AC1………………………………2分又DE平面ACC1A1∴DE∥平面ACC1A1………………………4分（用向量法酌情给分）(Ⅱ)直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∵AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC，而由条件知，AC⊥C1C，且BC⊥C1C＝C，……………5分因此，以CA.CB.CC1分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，高二数学（理）期末考试卷答案第1页共4页高二数学（理）期末考试卷答案第2页共4页∵AC＝3，BC＝4，AA1＝4，∴…………………7分设平面DB1C的法向量＝(x0，y0，z0)，-8-\n则由，令x0＝4，则y0＝－3，z0＝3，∴＝(4，－3，3)，……………………………………9分又直线BC1与平面DB1C所成角的正弦值即直线BC1与平面DB1C的法向量夹角的余弦值，∴∴直线BC1与平面DB1C所成角的正弦值为.………………………10分第Ⅱ卷（共50分）一.选择题：（共2小题，每小试题5分，共10分）（Ⅱ）因为，又且，设，则所以，即.……………………6分设平面的法向量为，因为，由，，得，令，则可得平面的一个法向量为………………9分而平面PDB的法向量即为…………………………………………10所以，，解得或，……………………11分又由题意知，故，即点E在靠近点P的三等分处。………12分-8-\n（Ⅱ）可以构成等差数列，即＋＝2……………………6分直线的斜率存在，设直线的方程为，即，由得，设点、的坐标分别为、，则，，…7分，，.…9分由得，，，…………………………11分，即由、、这三个数可构成等差数列．……………12分-8-\n-8-
