福建省福州市第一中学2022-2022学年高二数学上学期期中试题理(考试时间：120分钟试卷总分：150分)第I卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂．1.命题“若，则”的逆否命题是（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则2.不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 3.“”是“a,b,c成等比数列”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4.下列说法正确的是（ ）A. 的最小值为2 B. 的最小值为4，C. 的最小值为 D. 的最大值为1-15-\n5.已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则等于（ ）A. B. C. D. 6.朱世杰是历史上有名的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数一五间”，有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日？”其大意为：“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”，在这个问题中，第8天应发大米（ ）A. 350升 B. 339升 C. 2024升 D. 2124升7.若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为( )A. (－3,0) B. [－3,0) C. [－3,0] D. (－3,0]8.在△ABC中，如果，且B为锐角，试判断此三角形的形状（）。A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形9.实数满足，若的最小值为1，则正实数（ ）-15-\nA. 2 B. 1 C. D. 10.数列中，且对任意的都有，则=（ ）A. B. C. D. 11.在中，角，，的对边分别为，，，且，若，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 12.已知数列的前项和为，，且满足，已知，，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卷的相应位置．13.已知关于的不等式的解集是，则________.14.已知，并且，，成等差数列，则的最小值为________.-15-\n15.北京101中学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个音乐教室和一个图书馆，如图，若设音乐教室在A处，图书馆在B处，为测量A，B两地之间的距离，某同学选定了与A，B不共线的C处，构成△ABC，以下是测量的数据的不同方案：①测量∠A，AC，BC；②测量∠A，∠B，BC；③测量∠C，AC，BC；④测量∠A，∠C，∠B.其中一定能唯一确定A，B两地之间的距离的所有方案的序号是_____16.把数列的各项依次排列，如图所示，则第行的第个数为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或演算步骤.17.在平面四边形中，（1）求;（2）若求.18.数列满足.（1）证明：数列是等差数列；（2）若，求.-15-\n19.设数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前60项的和T60.20.△ABC的外接圆半径R=，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且=（1）求角B和边长b；（2）求S△ABC的最大值及取得最大值时的a，c的值，并判断此时三角形的形状．21.已知：等差数列中，，且前项和满足条件，（1）求数列的通项公式和；（2）记，求数列的前项和.-15-\n22.如图，某自行车手从O点出发，沿折线O﹣A﹣B﹣O匀速骑行，其中点A位于点O南偏东45°且与点O相距20千米．该车手于上午8点整到达点A，8点20分骑至点C，其中点C位于点O南偏东（45°﹣α）（其中sinα=，0°＜α＜90°）且与点O相距5千米（假设所有路面及观测点都在同一水平面上）．（1）求该自行车手的骑行速度；（2）若点O正西方向27.5千米处有个气象观测站E，假定以点E为中心的3.5千米范围内有长时间的持续强降雨．试问：该自行车手会不会进入降雨区，并说明理由．-15-\n1.【答案】B【解答】根据逆否命题的概念可知，命题“若，则”的逆否命题是“若，则”．故答案为：B.【分析】根据逆否命题的定义进行判断即可．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆否命题．2.【答案】A【解答】由题意得，即，所以不等式的解集为，故答案为：A．【分析】首先对不等式进行通分，变号。再运用分式不等式求解方法进行计算.3.【答案】B【解答】解：因为此时不能推出结论，反之就成立。因此条件是结论成立的必要不充分条件.故答案为：B【分析】结合必要条件和充分条件的概念，即可得出答案。4.【答案】D【解答】解：，定义域，所以值域为，所以无最小值。A错误，当时取等号，而时故不能取等号，B错误的最小值为1，C错误。故答案为：D。【分析】解决本题时，需熟练掌握均值不等式的基本性质：,且取等式时，两项相等。即可判断A，B两项。针对一元两次不等式，只有当取对称轴时，才能取得最值，C，D可解。即可得出答案。5.【答案】C-15-\n【解答】∵a1，a3，2a2成等差数列，∴a3=a1+2a2，∴q2﹣2q﹣1=0，∴q=1+，q=1﹣（舍去），∴故答案为：C.【分析】根据题目中所给的条件的特点，根据所给的三项成等差数列，写出关于公比的方程式，求解得到公比的值，最后把要求的代数式整理成只含有首项和公比的形式，化简计算得到答案．6.【答案】D【解答】令派遣人数的等差数列为，设，其前项和为，令，解得.，故要发米升.故答案为：D【分析】根据题意可得派遣人数为等差数列，结合等差数列的性质求出首项和公差的值，再把数值代入到等差数列前n项和公式，由待定系数法求出n的值即可。7.【答案】D【解答】当k＝0时，显然成立；当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则解得－3<k<0.综上，满足不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立的k的取值范围是(－3,0]，故答案为：D.【分析】由二次项系数小于0，对应的判别式小于0联立求解．一元二次不等式解法与求一元二次方程的根相似，大体上有十字相乘法，配方法，万能公式法．8.【答案】C解答：因为，所以，又因为B是锐角，所以因为，所以，由正弦定理得，即-15-\n所以cosC＝0，所以所以所以△ABC是等腰直角三角形。分析：由对数运算性质可求得B，由可得.由代入已知式子可得．9.【答案】C【解答】由,舍;由作可行域,则直线过点A取最小值1,满足题意,所以.故答案为:C【分析】先作出可行域,结合图形得在点A处取得最小值,从而求出k的值.10.【答案】C【解答】对任意的都成立，，即，，把上面个式子相加可得，，，从而有，，故答案为：C.【分析】先取m=1得到数列的递推式,用累加法求出数列的通项公式,再用裂项相消法求和.11.【答案】A-15-\n【解答】解：因为，所以所以因此，选A.【分析】利用余弦定理，代入计算，结合基本不等式可求c的取值范围。12.【答案】C【解答】解：因为，且，所以数列是以为首项、1为公差的等差数列，则，即，令，得，又，，则的最小值为.故答案为：C【分析】构造一个等差数列，再结合等差数列小于0的部分组成的部分和最小，即可得出答案。13.【答案】2【解答】化分式不等式为整式不等式，根据解集是得，,方程的两实根分别为，，所以=，a=2【分析】将分式不等式转化为整式不等式，根据不等式的解集，结合不等式的解集与方程的解的关系，即可得出结论。14.【答案】9-15-\n【解答】因为，，成等差数列，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，故答案是9.【分析】利用题目条件成等差数列，得出,然后将a+4b乘以并利用基本不等式求出最后的最小值。15.【答案】②③【解答】解：考查所给的四个条件：①测量∠A，AC，BC，已知两边及对角，由正弦定理可知，三角形有2个解，不能唯一确定点A，B两地之间的距离；②测量∠A，∠B，BC，已知两角及一边，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定点A，B两地之间的距离；③测量∠C，AC，BC，已知两边及夹角，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定点A，B两地之间的距离；④测量∠A，∠C，∠B，知道三个角度值，三角形有无数多组解，不能唯一确定点A，B两地之间的距离；综上可得，一定能唯一确定A，B两地之间的距离的所有方案的序号是②③.【分析】正确理解余弦函数，正弦函数的含义，即可得出答案。16.【答案】【考点】数列的应用【解答】第行有个数；第行有个数；第行有个数，，…,第行有个数，-15-\n前行共有个数，第行第个数是数列的第项为，故答案为.【分析】由图可得数阵中的前10行共有1+3+5+…+19个数，进而可得第11行第15个数对应的位置．17.【答案】（1）解：在中，由正弦定理得.由题设知，，所以.由题设知，，所以.（2）解：由题设及（1）知，.在中，由余弦定理得.所以.【分析】:(1)在三角形ABD中,由正弦定理求出,再由同角关系式求出;(2)由,求出,再在中由余弦定理求出BC.18.【答案】（1）解：由已知可得，即，所以是以为首项，为公差的等差数列.（2）解：由（1）得，所以，，-15-\n【分析】（1）由题意，可化简得，即可得到数列表示首项为1，公差我1的等差数列；（2）由（1）可得，在利用并项法，即可求解数列的前n项和。19.【答案】（1）解：∵数列满足⋯⋯①∴时，⋯⋯②①-②得，即当n=1时，适合上式，∴（2）解：令，即∴∴【分析】(1)结合题意对n赋值得到关于该数列的两个代数式，两式相减即可得出数列an的通项公式，经过验证从而得到数列的通项公式。(2)首先整理数列的通项公式再由裂项相消法即可求出T60的值。20.【答案】（1）解：∵，∴2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC，可得2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C），∵在△ABC中，sin（B+C）=sin（π﹣A）=sinA＞0，∴2sinAcosB=sinA，可得cosB=．又∵B∈（0，π），∴，由正弦定理，可得b=2RsinB=2•sin=3（2）解：∵b=3，，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得a2+c2-15-\n﹣ac=9，因此，ac+9=a2+c2≥2ac，可得ac≤9，当且仅当a=c时等号成立，∵S△ABC==，∴由此可得：当且仅当a=c时，S△ABC有最大值，此时a=b=c=3，可得△ABC是等边三角形21.【答案】（1）解：设等差数列的公差为,由得：，所以，且，所以（2）解：由，得所以，①，②①②得所以【分析】（1）可以带入特殊值法，代入n=1,计算出首项和通项，再利用前n项和计算得到答案。（2）本道题目可以采取错位相减法计算前n项和。22.【答案】（1）解：由题意，知：OA=20，OC=5，∠AOC=α，sinα=-15-\n．由于0°＜α＜90°，所以cos==．由余弦定理，得AC=V=5．所以该自行车手的行驶速度为=15（千米/小时）（2）解：如图，设直线OE与AB相交于点M．在△AOC中，由余弦定理，得：cos∠OAC===，从而sin∠OAC==．在△AOM中，由正弦定理，得：OM===20，由于OE=27.5＞40=OM，所以点M位于点O和点E之间，且ME=OE﹣OM=7.5．过点E作EHAB于点H，则EH为点E到直线AB的距离．在Rt△EHM中，EH=EM•sin∠EMH=EM•sin（45°﹣∠OAC）=7.5×=＜3.5．所以该自行车手会进入降雨区．【分析】（1）根据余弦定理，即可求出AC的长，即可求出自行车的速度，（2）先根据余弦定理，即可求出cos∠OAC，再根据正弦定理可得OM，再在Rt△EHM中，求出EM的大小，比较即可．-15-
