福安高级中学、霞浦七中、周宁十中2022--2022学年第一学高三期中考试数学理科试卷（总分150分，考试时间120分钟，）一、选择题（共60分.本大题共12个小题，每个小题都有四个选项，其中只有一个选项正确，请将正确选项的题号填在答题卡的相应位置上，答对一个小题得5分）1.若复数满足，则等于（）A．B．C．D．2.已知集合，集合，则=()A．B．C．D．3.下列命题中，真命题是（）A．B．C．的充要条件是D．是的充分条件4.若集合A=｛-1，1｝，B=｛0，2｝，则集合｛z︱z=x+y,x∈A,y∈B｝中的元素的个数为（）A．5B.4C.3D.25.已知函数是定义在R上的单调递减函数，则函数的图象大致是（）6.在△ABC中，已知AD→=2DB→，且CD→=13CA→+λCB→，则λ= ( )A.23B.13C.D.7.已知，则()A．B．C．D．9\n8．已知函数，则使方程有解的实数的取值范围是（）A．（1，2）B．C．D．9.若向量a=(1，2)，b=(1，-1)，则2a+b与a-b的夹角等于 ( )A.B.π6C.π4D.3π410.在中，分别是角的对边，，且，则的值为()A． B． C． D．711.函数()的图象的相邻两条对称轴间的距离是．若将函数图象向右平移个单位，得到函数的解析式为A．B．C．D．12.设函数（）的极小值点的个数为（）A．1007B.1008C．2022D．2022二、填空题：(本大题5个小题，每小题4分，共20分).13.计算定积分___________14.的值等于。15．函数（）在处有极值，则曲线在原点处的切线方程是 。16.设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，f(2-x)=f(x+2)，且当x∈[-2，0]时，.若关于x的方程(a>1)在区间(-2，6]内恰有三个不同实根，则实数a的取值范围是 .9\n福安高级中学、霞浦七中、周宁十中2022—2022学年第一学期半期考高三数学理科答卷一、选择题（60分）题号123456789101112答案二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。密封线13、14、15、16、三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤.）17．（本小题满分10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为：（t为参数），以为原点，轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：.（Ⅰ）写出直线和曲线C的普通方程。（Ⅱ）若直线和曲线C相切，求实数的值。18．（本题满分12分）将函数图象上的所有点向右平移个单位9\n长度，得到曲线，再把曲线上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．（Ⅰ）写出函数的解析式，并求的周期；（Ⅱ）若函数，求在上的单调递增区间．19．（本题满分12分）在中，角，，所对的边分别为，，，，。（Ⅰ）求及的值；（Ⅱ）若，求的面积.20．（本题满分12分）9\n在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12nmile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进，若侦察艇以每小时14nmile的速度沿北偏东45°+α方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值.21.（本小题满分12分）某集团公司为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每投入广告费t（百万元），可增加销售额约为－t2+5t（百万元）（0≤t≤5）．（1）若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大?（2）现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x（百万元），可增加的销售额约为－x3+x2+3x（百万元）．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大?（注：收益=销售额－投入）9\n22.（本题满分12分）已知函数，（Ⅰ）若，求的单调区间；（Ⅱ）对，都有，求实数的取值范围；9\n高三数学（理）参考答案与评分标准一、题号123456789101112答案ADDCDABDCADB二、13、14、15、16、34<a<217、解：（1）直线l的方程是…………2分曲线C的方程是…………4分（2）由…………5分得…………7分…………8分k=1…………9分所以，当k=1时，直线和曲线C相切………10分18、解：（1）：………2分………4分………6分（2）………7分………9分在上的单调递增区间是[0，]和[，]………12分19、解：（1）=………3分∴………5分………8分（2）由得………10分………12分20、如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，………1分9\n则AC=14x，BC=10x，………3分∠ABC=120°.………4分根据余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240xcos120°………6分解得x=2.故AC=28，BC=20.………8分根据正弦定理得………9分解得………11分所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为………12分21、解（1）设投入t（百万元）的广告费后增加的利益为f（t）（百万元），则有f（t）=（－t2+5t）－t=－t2+4t=－（t－2）2+4（0＜t≤3），∴当t=2百万元时，f（t）取得最大值4百万元，即投入2百万元广告费时，该公司由此获得的收益最大．………6分（2）设用于技术改造的资金为x（百万元），则用于广告促销的资金为（3－x）（百万元）（0≤x≤3），又设由此而增加的收益是g（x）（百万元），则有g（x）=（－x3+x2+3x）+［-(3x)2+5(3-x)］－3=－x3+4x+3（0≤x≤3），∴g′（x）=－x2+4．令g′（x）=0，解得x=－2（舍去）或x=2．又当0≤x＜2时，g′（x）＞0；当2＜x≤3时，g′（x）＜0，故g（x）在上是增函数，在上是减函数∴当x=2时，g（x）取得最大值．………12分答：用于技术改造资金为2百万元，广告1百万元时，公司获得的收益最大．22、解：（1）………1分令………2分x+-+………4分∴的单调递增区间为和，递减区间为………6分9\n（2）若则∴在上单调递减，的最大值为-2………8分要使成立即恒成立………9分即恒成立令求得它在的最大值为∴………12分9
