泉港一中2022-2022学年高三上学期第二次月考理科数学科试题（考试时间：120分钟总分：150分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）1．设集合，，则（）A．B．C．D．2.已知复数z满足，则 A.B.1C.D.53.若数列是等差数列，且，，则 A.30B.33C.27D.244.圆的圆心到直线的距离为1，则a=（）（A）（B）（C）（D）25.已知偶函数在区间上单调递增，且，则满足（）A.B.C.D.6．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再把所得函数图象向右平行移动个单位长度，得到的函数图象的一个对称中心是 A.B.C.D.7．设为所在平面内一点，则（）A.B.C.D.8.函数的图象大致是（）AB．C．D．-8-\n9.已知一个简单几何的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．10.在中，，，则角（）A.B.C.或D.11．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线相切，则圆C面积的最小值为 A.B.C.D.12．设函数为定义域为的奇函数，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为（）A．6B．7C．13D．14一、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．过点的直线l与圆有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是_______14．已知x，y满足约束条件，若的最大值为4，则．15.在正四面体中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中成立的是平面PDF平面PAE.平面平面ABC平面平面ABC16．正方形的边长为，点、分别是边、的中点，沿折成一个三棱锥（使重合于），则三棱锥的外接球表面积为______________．三、解答题：-8-\n共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17．设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令,求数列的前项和．18.设Ⅰ求的单调区间；Ⅱ在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求面积的最大值．19.如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，平面底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，，，．求证：平面平面PAD；若，求二面角的大小．20．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤分析显示：当S中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为单位：分钟，而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？求该地上班族S的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．-8-\n21．已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴垂直．（1）求的单调区间；（2）设，对任意，证明：．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数）.（1）求曲线的直角坐标方程与曲线的普通方程；（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线，若，分别是曲线和曲线上的动点，求的最小值.23．[选修4-5：不等式选讲]已知.（1）当时，解不等式.（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.-8-\n泉港一中2022-2022学年高三上学期第二次月考理科数学科试题答案一、选择题（共12题，共60分）题号123456789101112答案BCBADAADDDAA二、填空题（共4题，共20分）13.[0,]14.215.16.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17.解：（Ⅰ）由已知解得．设数列的公比为，由，可得．又，可知，即，解得．由题意得．．故数列的通项为．6分（Ⅱ）由于,所以两式相减得：-----12分18.解：Ⅰ由题意可知，由，可解得：，；由，可解得：，；所以的单调递增区间是，；单调递减区间是：，；Ⅱ由，可得，由题意知A为锐角，所以，由余弦定理-8-\n，可得：，即，且当时等号成立．因此，所以面积的最大值为．本题主要考查了正弦函数的图象和性质，余弦定理，基本不等式的应用，属于基本知识的考查．19．证明：为AD的中点，，，，，四边形BCDQ是平行四边形，，底面ABCD为直角梯形，，，分又，平面PQB．平面PAD，平面平面分解：，平面底面ABCD，平面底面，底面ABCD，以Q为原点，QA所在直线为x轴，QB所在直线为y轴，QP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则0，，，，分设b，，则，即，，，，，分，，设平面MQB的法向量y，，则，取，得0，平面BQC的一个法向量0，分设二面角的平面角为为锐角，则，，二面角的大小为分本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的益关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.解；由题意知，当时，，即，解得或，时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；当时，-8-\n；当时，；；当时，单调递减；当时，单调递增；说明该地上班族S中有小于的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为时，人均通勤时间最少．本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．21.解：（1）因为，由已知得，∴．所以，设，则，在上恒成立，即在上是减函数，由知，当时，从而，当时，从而．综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是．（2）因为，要证原式成立即证成立，现证明：对任意恒成立，当时，由（1）知成立；当时，，且由（1）知，∴．设，则，当时，，当时，，所以当时，取得最大值．所以，即时，．综上所述，对任意．①令，则恒成立，所以在上递增，恒成立，即，即．②当时，有；当时，由①②式，，-8-\n综上所述，时，成立，故原不等式成立22.（1）∵的极坐标方程是，∴，整理得，∴的直角坐标方程为.曲线：，∴，故的普通方程为.（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线的方程为，则曲线的参数方程为（为参数）.设，则点到曲线的距离为.当时，有最小值，所以的最小值为.23．（1）当时，等式，即，等价于或或，解得或，所以原不等式的解集为；（2）设，则，则在上是减函数，在上是增函数，∴当时，取最小值且最小值为，∴，解得，∴实数的取值范围为.-8-
