泉港一中2022-2022学年上学期期末考高二数学(理科）试题（考试时间：120分钟总分：150分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题只有一个答案是正确的.）输出s结束开始否是1．命题“≤1”的否定是（）A．≥1B．C．≥1D．2.曲线y2=x与直线y=x所围成的图形的面积为（)A.B.C.D.3.执行如右图所示的程序框图,输出的值为（ ）A．B．C．D．4.函数在(0,1)内单调递减,则实数a的取值范围是()A.a≥1B.a=1C.a≤1D.0﹤a﹤15.正三角形ABC边长为2，平面ABC外一点P，PA=PB=PC=则P到平面ABC的距离为（ ）A.B.C.D.6.双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．7.设函数,则（ ）A．为的极大值点B．为的极小值点C．为的极大值点D．为的极小值点8.已知椭圆的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于两点，且的中点为，则椭圆的离心率是()CADBA．B.C.D.9.如右图在一个二面角的棱上有两个点，，线段分别在-9-\n这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，则这个二面角的度数为（ ）A．B．C．D．10．己知双曲线的方程为，直线的方程为，过双曲线的右焦点的直线与双曲线的右支相交于、，以为直径的圆与直线相交于、，记劣弧的长度为，则的值为（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分.）11．定积分=__________。12.点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离之和的最小值是________13.定义在上的函数满足：，，是的导函数，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为14.已知双曲线x2y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则∣PF1∣+∣PF2∣的值为___________________.15.已知函数和函数，若对，总，使得成立，则实数的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16.某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动，随机对该市18～68岁的人群抽取一个容量为的样本，并将样本数据分成五组：，再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组，第2组，，第5组，绘制了样本的频率分布直方图；并对回答问题情况进行统计后，结果如下表所示．-9-\n组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的比例第1组[18,28)50.5第2组[28,38)18第3组[38,48)270.9第4组[48,58)0.36第5组[58,68)30.2（1）分别求出，的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人?（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．17．（本小题满分13分）已知函数（为实数）．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调减区间；（3）若，证明：当时，．18.（本小题满分13分）已知椭圆,椭圆以的长轴为短轴,且与有相同的离心率.（1）求椭圆的方程;(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆和上,,求直线的方程.19．（本小题满分13分）如图5所示,在四棱锥中,底面为矩形,平面,点在线段上,平面.(1)证明:平面;(2)若,,求二面角的正切值.-9-\n20.（本小题满分14分）如图，在直角坐标系xOy中，点P（1，）到抛物线C：=2px（P＞0）的准线的距离为。点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分。（1）求p,t的值。（2）（2）求△ABP面积的最大值。21.（本小题满分14分）已知函数，,(1)当时，求函数的极值。（2）若函数有两个极值点，求实数的取值范围。（3）定义：对于函数和，若存在直线，使得对于函数和各自定义域内的任意，都有且成立，则称直线为函数和的“隔离直线”。则当时，函数和是否存在“隔离直线”。若存在，求出所有的“隔离直线”。若不存在，请说明理由。-9-\n泉港一中2022-2022学年上学期期末考高二数学(理科）试题参考答案（考试时间：120分钟总分：150分）命题人：柯杰兰审题人：刘景森一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分。)1-5DACAC6-10ADBBC二、填空题：(本大题共5小题，每小题4分，共20分。)11.12.13.14..15.三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．解：（1）第1组人数，所以，…………2分第2组频率为：，人数为：，所以，…4分第4组人数，所以，…………6分（2）第2,3,4组回答正确的人的比为，所以第2,3,4组每组应各依次抽取人，人，1人…9分（3）记“所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖”为事件A，抽取的6人中，第2组的设为，，第3组的设为，，，第4组的设为，则从6名幸运者中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：，，，，，，，，，，，，，，.………………11分其中第2组至少有1人的情况有9种，他们是：，，，，，，，，．．答：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为．………13分17．解：（1）由题意得所求切线的斜率………2分切点则切线方程为，-9-\n即………4分（2）（1）当≤0时，≤0，则的单调减区间是；………6分（2）当时，令，解得或，则的单调减区间是，………9分（3）证明：令，≥0………11分则是上的增函数故当时，即，………13分18．解19.解:(1)因为平面,平面,所以.又因为平面,平面,所以.而,平面,平面,所以平面.………6分(2)由(1)可知平面,而平面,所以,而为矩形,所以为正方形,于是.………7分以点为原点,、、为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系.………8分则、、、,于是,.设平面的一个法向量为,则,从而-9-\n,令,得.………11分而平面的一个法向量为.所以二面角的余弦值为,于是二面角的正切值为3.………13分20.解（1）由题意得，得………4分（2）设，线段AB的中点坐标为由题意得，设直线AB的斜率为k（k）.由，得，得所以直线的方程为，即.………6分由，整理得，………7分所以，，.从而得，………9分设点P到直线AB的距离为d，则，设ABP的面积为S，则.………11分由，得.令，，则.设，，则.-9-\n由，得，所以，故ABP的面积的最大值为.………14分21.解：（1）a=1时，＝，，的定义域是（0，+∞），当x∈(0,1)时，递减当x∈(1，+∞)时，递增∴x=1时，h(x)取得极小值h(1)=0,h(x)无极大值。……………………………………（4分）（2），x∈(0,+∞)依题意，方程在（0，+∞）上有两个不相等的解。∴∴-∴a的取值范围是（-）……………………………………………………（9分）（3）设存在，a=1时，由（1）知，当且仅当x＝1时，h(x)=0,此时，f(1)=g(1)=-1∴y=与y=g(x)的图象有唯一的交点A（1，-1）直线l必过点A，设l的方程：y+1=k(x-1),y=kx-k-1由≥kx-k-1恒成立得x2+(1-k)x+k-2≥0恒成立∴△＝（1-k）2-4(k-2)=(k-3)2≤0∴k=3,直线l的方程：y=3x-4…………………………………………………………（12分）以下证明g(x)≤3x-4对x>0恒成立令φ（x）＝3x-4-g(x)=4x-4-4lnx-9-\nφ`(x)=4-当x∈(0,1)时,φ`(x)<0,φ(x)递减，当x∈（1，+∞）时，φ(x)>0，φ(x)递增，∴φ(x)的最小值为φ(1)＝0，∴φ(x)≥0恒成立即g(x)≤3x-4对x>0恒成立综上，和g(x)存在唯一的“隔离直线”：y=3x-4。……（14分）[-9-
