长沙市第二十一中学2022年下学期期中考试高二试卷数学（文科）时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“若，则”的逆否命题是()A．若，则，或B．若，则C．若或，则D．若或，则2.双曲线的焦距为( )A． B．2 C．2 D．43.若函数的单调递增区间是()A.B.C.D.4.顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( )A．y2＝－4xB．x2＝4yC．y2＝－4x或x2＝4yD．y2＝4x或x2＝－4y5.“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6．以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是()A．B．C．D．-11-\n7.如图是函数的导函数的图象,则下面判断正确的是( )A.在区间(-2,1)上是增函数B.在(1,3)上是减函数C在(4,5)上是增函数D.当x=4时取极大值8.是抛物线上任意一点，，，则的最小值为（）A．B．3C.6D．59.椭圆的左、右焦点分别为,一直线经过交椭圆于两点，则的周长为()A.32B.16C.8D.410．已知对任意实数有，，且时，，，则时()A．，B．，C．，D．，11.已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )A．πB．4πC．8πD．9π12.已知点,是椭圆上的动点，且，则的取值范围是()-11-\nA．B．C．D．二、填空题（每题5分，共20分）13.抛物线的准线方程是．14．曲线在点（-1,-1）处的切线的倾斜角是．15.与双曲线有相同渐近线，且过的双曲线方程是．16.命题p：关于x的方程x2＋ax＋2＝0无实根，命题q：函数f(x)＝logax在(0，＋∞)上单调递增，若“p∧q”为假命题，“p∨q”真命题，则实数a的取值范围是_______.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(10分)设命题；命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.18(12分)已知函数，当时，有极大值.（1）求函数的解析式并写出它的单调区间.（2）求此函数在[-2，2]上的最大值和最小值.19.(12分)如图,直线l:与抛物线C:相切于点.(1)求实数的值;(2)求以点为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.20.(12分)已知双曲线的方程是.(1)求该双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程;-11-\n(2)设和是双曲线的左、右焦点,点P在双曲线上,且,求的大小.21．(12分)已知函数（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）如果，在（0，4]上恒成立，求的取值范围．22.(12分)已知点,椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点.（I）求椭圆的方程；（II）设过点的动直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程-11-\n长沙市21中高二上期中考试文科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“若，则”的逆否命题是( D )A．若，则，或B．若，则C．若或，则D．若或，则2.双曲线的焦距为( B )A． B．2 C．2 D．43.若函数的单调递增区间是(B)A.B.C.D.4.顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( C )A．y2＝－4xB．x2＝4yC．y2＝－4x或x2＝4yD．y2＝4x或x2＝－4y5.“”是“”的(A)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6．以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是(A)A．B．C．D．7.如图是函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象,则下面判断正确的是( C )-11-\n(A)在区间(-2,1)上f(x)是增函数(B)在(1,3)上f(x)是减函数(C)在(4,5)上f(x)是增函数(D)当x=4时,f(x)取极大值8.是抛物线上任意一点，，，则的最小值为（B）A．B．3C.6D．59.椭圆的左、右焦点分别为F₁,F₂,一直线经过F₁交椭圆于A、B两点，则的周长为(B)A.32B.16C.8D.410．已知对任意实数有，，且时，，，则时(B)A．，B．，C．，D．，11.已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( B )A．πB．4πC．8πD．9π-11-\n12.已知点,是椭圆上的动点，且，则的取值范围是(C)A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.抛物线的准线方程是．14．曲线在点（-1,-1）处的切线的倾斜角是15.与双曲线有相同渐近线，且过的双曲线方程是．16.命题p：关于x的方程x2＋ax＋2＝0无实根，命题q：函数f(x)＝logax在(0，＋∞-11-\n)上单调递增，若“p∧q”为假命题，“p∨q”真命题，则实数a的取值范围是_.(－2，1]∪[2，＋∞)______.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设命题；命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.[解析] 由(4x－3)2≤1，得≤x≤1，令A＝{x|≤x≤1}．由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得a≤x≤a＋1，令B＝{x|a≤x≤a＋1}．q是p的必要不充分条件，，即∴，∴0≤a≤.∴实数a的取值范围是[0，]．18已知函数，当时，有极大值（1）求函数的解析式并写出它的单调区间（2）求此函数在[-2，2]上的最大值和最小值解：（1），由题意知，解得，当时，，的单调递增区间为当时，，的单调递减区间为当时，，当时，又,19.如图,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A.(1)求实数b的值;(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.-11-\n解:(1)由得x2-4x-4b=0,(*)因为直线l与抛物线C相切,所以Δ=(-4)2-4×(-4b)=0,解得b=-1.(2)由(1)可知b=-1,故方程(*)即为x2-4x+4=0,解得x=2,代入x2=4y,得y=1.故点A(2,1),因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离,即r=|1-(-1)|=2,所以圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.20.(本小题满分12分)已知双曲线的方程是16x2-9y2=144.(1)求该双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程;(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点,点P在双曲线上,且|PF1|·|PF2|=32,求∠F1PF2的大小.解:(1)由16x2-9y2=144得-=1,所以a=3,b=4,c=5.焦点坐标为(-5,0),(5,0),离心率e=,渐近线方程为y=±x.(2)||PF1|-|PF2||=6,cos∠F1PF2====0.所以∠F1PF2=90°.所以∠F1PF2=90°.21．已知函数（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）如果，在（0，4]上恒成立，求的取值范围．-11-\n解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=lnx﹣x，f′（x）=﹣1=，故f（1）=﹣1，f′（1）=0，故切线方程是：y+1=0，即y=﹣1；（II）f′（x）=﹣a=，（x＞0）①当a≤0时，由于x＞0，得：1﹣ax＞0，f′（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞），②当a＞0时，f′（x）=0，得x=，在区间（0，）上，f′（x）＞0，在区间（，+∞）上，f′（x）＜0，所以f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）；（III）如果f（x）≤0在（0，4]上恒成立，即a≥在（0，4]恒成立，令h（x）=，x∈（0，4]，h′（x）=，令h′（x）＞0，解得：0＜x＜e，令h′（x）＜0，解得：e＜x≤4，故h（x）在（0，e）递增，在（e，4]递减，故h（x）max=h（e）=，故a≥．22.已知点,椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点.（I）求的方程；（II）设过点的动直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程解析：（I）设，由条件知，得，又，所以，，故的方程为。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分-11-\n（II）当轴时不合题意，故可设，，将代入中得，当时,即,。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分由韦达定理得从而又点到直线的距离为所以的面积。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分设，则，，因为,当且仅当，即时等号成立，且满足.所以当的面积最大时，的方程为或。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分-11-
