湖南省醴陵市第一中学2022-2022学年高二数学上学期第一次月考试题本卷共150分，考试时间120分钟，班级姓名一、选择题(本题共12小题每小题5分共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列1，3，7，15，…的通项公式an可能是( )A．2n B．2n＋1C．2n－1D．2n－12．若a＜1，b＞1，那么下列不等式中正确的是( )A.＞B．＞1C．a2＜b2D．ab＜a＋b3．若f(x)＝－x2＋mx－1的函数值有正值，则m的取值范围是( )A．m<－2或m>2B．－2<m<2C．m≠±2D．1<m<34．等差数列{an}满足a＋a＋2a4a7＝9，则其前10项之和为( )A．－9B．－15C．15D．±155．在△ABC中，B＝135°，C＝15°，a＝5，则此三角形的最大边长为( )A．5B．5C．2D．36，已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则( )． A．¬p：∃x0∈R，sinx0≥1B．¬p：∀x∈R，sinx≥1C．¬p：∃x0∈R，sinx0>1D．¬p：∀x∈R，sinx>17．已知变量x，y满足则z＝3x＋y的最大值为( )A．4 B．5C．6D．78．若函数f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝( )．A．1＋B．1＋C．3D．49．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点．在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )A．6B．5C．4D．310．F1、F2是的两个焦点，M是双曲线上一点，且，则三角形△F1MF2的面积＝( )．A.16B.8C.6D．12-12-\n11.已知椭圆的右焦点，过点的直线交于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（）A.B.C.D.12．在各项均为正数的等比数列{an}中，公比q∈(0，1)．若a3＋a5＝5，a2·a6＝4，bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，则当＋＋…＋取最大值时，n的值为( )A．8B．9C．8或9D．17二、填空题(本大题共4小题每小题5分共20分，把正确答案填在题中的横线上)13．不等式的解集为________.14．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为2.则双曲线C的方程为_________.15.已知在正整数数列{an}中，前n项和Sn满足：Sn＝(an＋2)2.若bn＝an－30.则数列{bn}的前n项和的最小值为_________.16．椭圆＞＞与直线交于、两点，且，其中为坐标原点.则的值为_________.三、解答题(本大题有6题共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)．17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝ax2－4ax－3.(1)当a＝－1时，求关于x的不等式f(x)>0的解集；(4分)(2)若对于任意的x∈R，均有不等式f(x)≤0成立，求实数a的取值范围．(6分)18．(本小题满分12分)设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a≠0，q：实数x满足(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(6分)(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．(6分)-12-\n19．(本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．(1)若b＝2，c＝2，求△ABC的面积；(6分)(2)若sinA，sinB，sinC成等比数列，试判断△ABC的形状．(6分)20．(本小题满分12分)如图，已知椭圆长轴|A1A2|＝6，焦距|F1F2|＝4.过椭圆焦点F1作一直线，交椭圆于两点M，N.(1)求椭圆的方程；(5分)(2)当∠F2F1M＝时，求|MN|.(7分)-12-\n21．（本小题满分12分）已知是数列{}的前n项和，并且=1，对任意正整数n，；设）.（I）证明数列是等比数列，并求的通项公式；(5分)（II）设的前n项和，求.(7分)-12-\n22.(本小题满分12分)已知椭圆：的两个焦点分别为，且椭圆经过点．（1）求椭圆的离心率；(5分)（2）设过点的直线与椭圆交于、两点，点是线段上的点，且，求点的轨迹方程．(7分)-12-\n高二年级数学教学质量第一次月考检测(10.8)本卷共150分，考试时间120分钟，班级姓名一、选择题(本题共12小题每小题5分共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列1，3，7，15，…的通项公式an可能是( )A．2n B．2n＋1C．2n－1D．2n－1解析：取n＝1时，a1＝1，排除A、B，取n＝2时，a2＝3，排除D.选C.2．若a＜1，b＞1，那么下列不等式中正确的是( )A.＞B．＞1C．a2＜b2D．ab＜a＋b解析：利用特值法，令a＝－2，b＝2，则＜，A错；＜0，B错；a2＝b2，C错．选D.3．若f(x)＝－x2＋mx－1的函数值有正值，则m的取值范围是( )A．m<－2或m>2B．－2<m<2C．m≠±2D．1<m<3解析：因为f(x)＝－x2＋mx－1有正值，所以Δ＝m2－4>0，所以m>2或m<－2.选A.4．等差数列{an}满足a＋a＋2a4a7＝9，则其前10项之和为( )A．－9B．－15C．15D．±15解析：因为a＋a＋2a4a7＝(a4＋a7)2＝9，所以a4＋a7＝±3，所以a1＋a10＝±3，所以S10＝＝±15.选D.5．在△ABC中，B＝135°，C＝15°，a＝5，则此三角形的最大边长为( )A．5B．5C．2D．3解析：依题意，知三角形的最大边为b.由于A＝30°，根据正弦定理＝，得b＝＝＝5.选A.6，已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则( )． A．¬p：∃x0∈R，sinx0≥1B．¬p：∀x∈R，sinx≥1C．¬p：∃x0∈R，sinx0>1D．¬p：∀x∈R，sinx>1解： 命题p是全称命题，全称命题的否定是特称命题．答C7．已知变量x，y满足则z＝3x＋y的最大值为( )A．4 B．5C．6D．7解析：在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线3x＋y＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点B(2,1)时，相应直线在x轴上的截距达到最大，此时z＝3x＋y-12-\n取得最大值，最大值是7.答案：D8．若函数f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝( )．A．1＋B．1＋C．3D．4解析 当x＞2时，x－2＞0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x＞2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3.答 C9．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点．在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )A．6B．5C．4D．3解：据椭圆定义知△AF1B的周长为4a＝16，所求的第三边的长度为16－10＝6.答案：A10．F1、F2是的两个焦点，M是双曲线上一点，且，则三角形△F1MF2的面积＝( )．A.16B.8C.6D．12[解析]：由题意可得双曲线的两个焦点是F1（0，-5）、F2（0，5），由双曲线定义得：，联立得+=100=，所以△F1MF2是直角三角形，从而其面积为S=答案：A11.已知椭圆的右焦点，过点的直线交于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（）A.B.C.D.【解析】由椭圆得，，因为过点的直线与椭圆交于，两点，设，,则，则①②-12-\n由①-②得，化简得.，又直线的斜率为，即.因为，所以，解得，.故椭圆方程为.选D.12．在各项均为正数的等比数列{an}中，公比q∈(0，1)．若a3＋a5＝5，a2·a6＝4，bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，则当＋＋…＋取最大值时，n的值为( )A．8B．9C．8或9D．17解析：因为a2·a6＝a3·a5＝4，且a3＋a5＝5，所以a3，a5是方程x2－5x＋4＝0的两个根．又因为等比数列{an}各项均为正数且q∈(0，1)，所以a3＝4，a5＝1.所以q2＝＝，所以q＝.所以an＝4·，所以bn＝log2an＝5－n.所以Sn＝，所以＝.Tn＝＋＋…＋＝(－n2＋17n)＝.所以当n＝8或9时，Tn取得最大值．选C.二、填空题(本大题共4小题每小题5分共20分，把正确答案填在题中的横线上)13．不等式的解集为________.解：由原不等式可得,或.整理，得,或.∴原不等式的解集是.答案：14．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为2.则双曲线C的方程为_________.解：设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)．由已知得：a＝，c＝2，再由a2＋b2＝c2，∴b2＝1，∴双曲线C的方程为－y2＝1.答案：－y2＝115.已知在正整数数列{an}中，前n项和Sn满足：Sn＝(an＋2)2.-12-\n若bn＝an－30.则数列{bn}的前n项和的最小值为_________.解：当n＝1时，S1＝a1＝(a1＋2)2，∴(a1－2)2＝0，∴a1＝2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an＋2)2－(an－1＋2)2，∴an－an－1＝4，∴{an}为等差数列．an＝a1＋(n－1)4＝4n－2，由bn＝an－30＝2n－31≤0得n≤.∴{bn}的前15项之和最小，且最小值为－225.16．椭圆＞＞与直线交于、两点，且，其中为坐标原点.则的值为_________.[解析]：设，由OP⊥OQx1x2+y1y2=0又将，代入①化简得.三、解答题(本大题有6题共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)．17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝ax2－4ax－3.(1)当a＝－1时，求关于x的不等式f(x)>0的解集；(4分)(2)若对于任意的x∈R，均有不等式f(x)≤0成立，求实数a的取值范围．(6分)解：(1)当a＝－1时，不等式ax2－4ax－3>0，即－x2＋4x－3>0.可化为x2－4x＋3<0，即(x－1)(x－3)<0，解得1<x<3，故不等式f(x)>0的解集为(1,3)．(2)①当a＝0时，不等式ax2－4ax－3≤0恒成立；②当a≠0时，要使得不等式ax2－4ax－3≤0恒成立；只需即解得即－≤a<0，综上所述，a的取值范围为.18．(本小题满分12分)设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a≠0，q：实数x满足(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(6分)(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．(6分)解：(1)由x2－4ax＋3a2<0，得(x－3a)(x－a)<0，当a＝1时，解得1<x<3，即p为真时实数x的取值范围是1<x<3.由，得2<x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2<x≤3.若p∧q为真，则p真且q真，-12-\n所以实数x的取值范围是2<x<3.(2)p是q的必要不充分条件，即q⇒p且pq，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则AB，又B＝(2,3]，当a>0时，A＝(a,3a)；a<0时，A＝(3a，a)．所以当a>0时，有解得1<a≤2；当a<0时，显然A∩B＝∅，不合题意．综上所述，实数a的取值范围是1<a≤2.19．(本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．(1)若b＝2，c＝2，求△ABC的面积；(6分)(2)若sinA，sinB，sinC成等比数列，试判断△ABC的形状．(6分)解：因为A，B，C成等差数列，所以2B＝A＋C.又A＋B＋C＝π，所以B＝.(1)法一：因为b＝2，c＝2，所以由正弦定理得＝，即bsinC＝csinB，即2sinC＝2×，得sinC＝.因为b>c，所以B>C，即C为锐角，所以C＝，从而A＝.所以S△ABC＝bc＝2.法二：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即a2－2a－8＝0，得a＝4.所以S△ABC＝acsinB＝×4×2×＝2.(2)因为sinA，sinB，sinC成等比数列，所以sin2B＝sinA·sinC.由正弦定理得b2＝ac；由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac.所以ac＝a2＋c2－ac，即(a－c)2＝0，即a＝c.又因为B＝，所以△ABC为等边三角形．20．(本小题满分12分)如图，已知椭圆长轴|A1A2|＝6，焦距|F1F2|＝4.过椭圆焦点F1作一直线，交椭圆于两点M，N.(1)求椭圆的方程；(5分)(2)当∠F2F1M＝时，求|MN|.(7分)解 (1)由题意知：2a＝6,2c＝4，∴b2＝a2－c2＝9－8＝1，且焦点在x轴上，∴椭圆的方程为＋y2＝1.(2)当∠F2F1M＝时，直线MN的斜率k＝1.又F1(－2，0)，∴直线MN的方程为y＝x＋2.由得：10x2＋36x＋63＝0.若M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.-12-\n∴|MN|＝·|x1－x2|＝·＝.即|MN|的长为.21．（本小题满分12分）已知是数列{}的前n项和，并且=1，对任意正整数n，；设）.（I）证明数列是等比数列，并求的通项公式；(5分)（II）设的前n项和，求.(7分)解：（I）两式相减：是以2为公比的等比（II）而22.(本小题满分12分)已知椭圆：的两个焦点分别为，且椭圆经过点．（1）求椭圆的离心率；(5分)（2）设过点的直线与椭圆交于、两点，点是线段上的点，且，求点的轨迹方程．(7分)【解析】(1)由椭圆定义知,2a=|PF1|+|PF2|=+=2,所以a=,又由已知,c=1,所以椭圆的离心率e===.-12-\n(2)由(1)知,椭圆C的方程为+y2=1,设点Q的坐标为(x,y).(ⅰ)当直线l与x轴垂直时,直线l与椭圆C交于(0,1),(0,-1)两点,,此时点Q的坐标为(0,2−).(ⅱ)当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=kx+2,因为M,N在直线l上，可设点M,N的坐标分别为则|AM|2=(1+k2)x12,|AN|2=(1+k2)x22,又|AQ|2=(1+k2)x2,由=+,得=+,即=+=,①将y=kx+2代入+y2=1中,得(2k2+1)x2+8kx+6=0.②由D=(8k)2−4(2k2+1)´6>0,得k2>.由②可知,x1+x2=,x1x2=,代入①并化简得x2=.③因为点Q在直线y=kx+2上,所以k=,代入③并化简,得10(y−2)2−3x2=18.由③及k2>,可知0<x2<,即xÎ(−,0)∪(0,).又(0,2−)满足10(y−2)2−3x2=18,故xÎ(−,).由题意,Q(x,y)在椭圆C内,所以−1£y£1,又由10(y−2)2=3x2+18有(y−2)2Î[,)且−1£y£1,则yÎ(,2−].所以点Q的轨迹方程为10(y−2)2−3x2=18,其中xÎ(−,),yÎ(,2−].-12-
