益阳市箴言中学2022—2022学年高二12月月考理科数学试题时间：120分钟满分：150分一、选择题：12×5’共60’1.已知集合M＝{x|x2＜4，N＝{x|x2－2x－3＜0，则集合M∩N＝（）（A）{x|x＜－2（B）{x|x＞3}（C）{x|－1＜x＜2（D）{x|2＜x＜32.在中，已知，那么一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形3.已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（ ）Ａ．3Ｂ．-2Ｃ．1Ｄ．24.函数f(x)在x＝1处的导数为1，则的值( )A．-3 B．3C.D．－5.p:|x-4|>2;q:x>1,则“┐p”是“q”的 条件. A充分不必要B.充分必要C.必要不充分D.既不充分也不必要[来6.曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为( )A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1C．y＝－2x－3D．y＝－2x－2A.7.设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则（）A．B．C．D．8.已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，则向量a＋b与a－b的夹角是()A．90°B．60°C．30°D．0°9.一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m，则水面宽为（）A．mB．2mC．4.5mD．9m10.已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为( )A.B.C.或D.或711.△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边.如果a、b、c成等差数列，∠B=30°，△6\nABC的面积为，那么b=（）A．B．C．D．12.下列四个命题：?“若xy=0,则x=0且y=0”的逆否命题；②“若m>2,则不等式x²-2x+m>0的解集为R”；?若F1、F2是定点，|F1F2|＝7，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝7，则M的轨迹是椭圆；④若{a，b，c}为空间的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一组基底；其中真命题的个数为（）A.1B.2C.3D.4二、填空题：4×5’共20’13.已知实数x、y满足则z＝2x－y的取值范围是14.A、B、C是不过原点O直线上的三点，15.在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则16.已知空间四边形OABC，如图所示，其对角线为OB、AC，M、N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且＝3，现用基向量、、表示向量，并设＝x·＋y·＋z·，则x、y、z的和为__________．三、解答题：10+12+12+12+12+12共70’17.（10分）设命题p：∃x0∈R，x＋2ax0－a＝0.命题q：∀x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1.如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．6\n18.(12分)在中，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，求的面积．19.（12分）设为等差数列，为数列的前项和，已知，，为数列的前项和，求。20.（12分）以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程21.（12分）如图，在圆锥PO中，已知PO＝，⊙O的直径AB＝2，C是的中点，D为AC的中点．(1)证明：平面POD⊥平面PAC；(2)求二面角BPAC的余弦值．6\n22.(12分)已知椭圆的中心在原点，焦点为F1(0，－2)，F2(0,2)，且离心率e＝.(1)求椭圆的方程；(2)直线l(与坐标轴不平行)与椭圆交于不同的两点A、B，且线段AB中点的横坐标为－，求直线l斜率的取值范围．理科数学参考答案1-4CBDC5-8AABA9-12BCBB13.[-5,7]14.5015.16.17.解：当命题p为真时，Δ＝4a2＋4a≥0得a≥0或a≤－1，当命题q为真时，(a＋2)x2＋4x＋a－1≥0恒成立，∴a＋2＞0且16－4(a＋2)(a－1)≤0，即a≥2.(6分)由题意得，命题p和命题q一真一假．当命题p为真，命题q为假时，得a≤－1；当命题p为假，命题q为真时，得a∈∅；∴实数a的取值范围为(－∞，－1]．(10分)18.解：（Ⅰ）由，得，由，得．所以．（Ⅱ）由正弦定理得．所以的面积．19.解：设等差数列的公差为，则∵，，∴即解得，。∴，∵，6\n∴数列是等差数列，其首项为，公差为，∴。20.解：如图所示，椭圆的焦点为，．点关于直线的对称点的坐标为（－9，6），直线的方程为．解方程组得交点的坐标为（－5，4）．此时最小．所求椭圆的长轴，∴，又，∴．因此，所求椭圆的方程为．21.解：(1)证明：如图所示，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则O(0,0,0)，A(－1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0，)，D.设n1＝(x1，y1，z1)是平面POD的一个法向量，则由n1·＝0，n1·＝0，得∴z1＝0，x1＝y1.取y1＝1，得n1＝(1,1,0)．设n2＝(x2，y2，z2)是平面PAC的一个法向量，则由n2·＝0，n2·＝0，得∴x2＝－z2，y2＝z2，6\n取z2＝1，得n2＝(－，，1)．∵n1·n2＝(1,1,0)·(－，，1)＝0，∴n1⊥n2.从而平面POD⊥平面PAC.(8分)(2)∵y轴⊥平面PAB.∴平面PAB的一个法向量为n3＝(0,1,0)．由(1)知，平面PAC的一个法向量为n2＝(－，，1)．设向量n2和n3的夹角为θ，则cosθ＝＝＝.由图可知，二面角BPAC的平面角与θ相等，∴二面角BPAC的余弦值为.(12分)22.解：(1)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知c＝2，又＝，解得a＝3，所以b＝1，故所求方程为＋x2＝1.(6分)(2)设直线l的方程为y＝kx＋t(k≠0)代入椭圆方程整理得(k2＋9)x2＋2ktx＋t2－9＝0，由题意得解得k＞或k＜－.(12分)6
