株洲市二中2022届高三第二学期开学考试试卷理科数学第1卷一、选择题.本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设复数则复数在复平面内对应点位于（ C ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．“”是“”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．如右图所示的程序框图，若输出的是，则①可以为( C )A．B．C．D．4．若展开式中的常数项是，则实数的值是（C）第8题图（A）（B）（C）（D）5．已知某几何体的三视图如图所示（单位），则此几何体的体积为（B）（A）（B）（C）（D）6.已知正项等比数列满足：，若存在两项，使得，则的最小值为（A）A．B．C．D．不存在7.设双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点的横坐标为，若，则双曲线C的离心率的取值范围是（B）A．B．C．D．-9-8．已知函数,其中实数k随机选自区间[－2,１].对的概率是(C)．A． B． C． D．9．已知x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（C）A.或－1B．2或C．2或1D．2或－110．对于函数和，设，，若存在、，使得，则称互为“零点关联函数”．若函数与互为“零点关联函数”，则实数的取值范围为（C）（A）（B）（C）（D）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，请按要求作答5小题，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上）（一）选考题；考生注意：11至13题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，按前两题给分．第第11题图11．如图，为圆的两条割线，若，则的长为________．12．在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为的直线与曲线（为参数）相交于、，则________．13．若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是________．（二）必做题（14至16题）14.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为_________．15．设某大学的女生体重y(kg)与身高x(cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，-9-yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的线性回归方程为＝0.85x－85.71，给出下列结论：①y与x具有正的线性相关关系；②回归直线过样本点的中心(x，y)；③若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg；④若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg.其中，正确结论的序号是______________．①②③正确．16.向平面区域内随机投掷一点，则该点落在曲线下方的概率为；三、解答题：本大题共小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在中，分别为内角的对边，且．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，，求．【解析】（Ⅰ）由，得，即．从而，得．∴,故．6…分（Ⅱ）由，得，∴．∵，∴，解得．…12分18．(本小题满分12分)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（Ⅰ）求在1次游戏中，（i）摸出3个白球的概率；（ii）获奖的概率；-9-（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数的分布列及数学期望.解：（I）（i）解：设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件则（ii）解：设“在1次游戏中获奖”为事件B，则，又且A2，A3互斥，所以（II）解：由题意可知X的所有可能取值为0，1，2.所以X的分布列是X012PX的数学期望19.（本小题满分12分）如图，四边形中（图1），是的中点，，，将（图1）沿直线折起，使二面角为（如图2）（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值；（3）求点到平面的距离.解；（1）如图取BD中点M，连接AM，ME。因……1分因，满足：,所以是BC为斜边的直角三角形，,因是的中点,所以ME为的中位线，-9-,……2分是二面角的平面角=……3分,且AM、ME是平面AME内两相交于M的直线平面AEM……4分因,为等腰直角三角形，……6分（2）如图，以M为原点MB为x轴，ME为y轴，建立空间直角坐标系，8分则由（1）及已知条件可知B(1,0,0),，,D,C设异面直线与所成角为,则……9分由可知满足，是平面ACD的一个法向量,记点到平面的距离d，则在法向量方向上的投影绝对值为d则……13分所以d……12分20．（本小题满分12分）已知数列是首项，公比为的等比数列，为数列的前n项和，又，常数，数列满足．（Ⅰ）若是递减数列，求的最小值；（Ⅱ）是否存在正整数k，使这三项按某种顺序排列后成等比数列？若存在，试求出k，的值；若不存在，请说明理由．-9-20．解：（Ⅰ）由题意知，，，∴，∴，是递减数列，∴恒成立，即恒成立，是递减函数，∴当时取最大值，∴，又，∴．………6分（Ⅱ）记，则，且，，，①若是等比中项，则由得：，化简得：，显然不成立.②若是等比中项，则由得：，化简得：，显然不成立．③若是等比中项，则由得：，化简得：，因为不是完全平方数，因而x的值是无理数，与矛盾．综上：不存在适合题意.………13分21.(本小题满分13分)设椭圆，其长轴是短轴的两倍,以某短轴顶点和长轴顶点为端点的线段作为直径的圆的周长为.(1)求椭圆的方程；(2)若直线与椭圆相交于两点,设直线的斜率分别为.的面积为,以为直径的圆的面积分别为.若-9-恰好构成等比数列,求的取值范围..解：（1）由题可知，且，解得：，……3分故椭圆的方程为：……5分（2）设直线的方程为，，由可得，由韦达定理有：且构成等比数列，=，即：由韦达定理代入化简得：.，.……8分此时，即.故又为定值.当且仅当时等号成立.综上：……13分22.(本小题满分13分)设,.-9-(1)若，求的单调区间；(2)讨论在区间上的极值点个数；(3)是否存在，使得在区间上与轴相切?若存在，求出所有的值.若不存在，说明理由.解：（1）当时：，（）故……2分当时：，当时：，当时：.故的减区间为：，增区间为……3分（2）令，故,,…6分显然，又当时：.当时：.故，，.故在区间上单调递增注意到：当时，，故在上的零点个数由的符号决定.①当，即：或时：在区间上无零点，即无极值点.②当，即：时：在区间上有唯一零点，即有唯一极值点.综上：当或时：在上无极值点.当时：在上有唯一极值点.……5分（3）假设存在，使得在区间上与轴相切，则必与-9-轴相切于极值点处，由（2）可知：.不妨设极值点为，则有：…(*)同时成立.联立得：，即代入（*）可得.令，.则，，当时（2）.故在上单调递减.又，.故在上存在唯一零点..故在上存在唯一零点.即当时，单调递增.当时，单调递减.因为，.故在上无零点，在上有唯一零点.由观察易得，故，即：.综上可得：存在唯一的使得在区间上与轴相切-9-
