芷兰2022年下学期高二年级期中考试A卷数学（文科）试题时量：120分钟满分：150分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡上（每小题5分，共60分）．1．函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（）A．ab=0B．a+b=0C．a=bD．a2+b2=02．抛物线的准线方程是()A．B．C．D．3．有金盒、银盒、铜盒各一个，只有一个盒子里有玫瑰．金盒上写有命题p：玫瑰在这个盒子里；银盒上写有命题q：玫瑰不在这个盒子里；铜盒上写有命题r：玫瑰不在金盒里．p、q、r中有且只有一个是真命题，则玫瑰在（ ）A．金盒里B．银盒里C．铜盒里D．在哪个盒子里不能确定4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为( )A．e2B．2e2C．e2D．5．下列命题中的假命题是（）A．B．C．D．6．已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．m<2B．1<m<2C．m<－1或1<m<2D．m<－1或1<m<7．点P是曲线y＝ex上任意一点，则点P到直线y＝x的最小距离是（）A．1B．2C．2D．228．下列求导运算正确的是（）A．x+1x'=1+1x2B．log2x'=1xln2C．3x'=3xlog3eD．x2cosx'=-2sinx9．记实数，，……中的最大数为max，最小数为min。已知ABC的三边长位a,b,c（），定义它的亲倾斜度为则“=1”是“ABC为等边三角形”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件-9-\n10．已知F1,F2是双曲线的两个焦点,Q是双曲线上任意一点,从某一焦点引∠F1QF2平分线的垂线,垂足为P,则点P的轨迹是（）A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线11．已知点为双曲线上的不同两点，若为等边三角形，且这样的三角形有且仅有两个，则双曲线离心率的取值范围是()A．B．C．D．12．已知函数f(x)(x∈R)满足f'(x)＞f(x)，则( )A．f(2)<e2f(0)B．f(2)≤e2f(0)C．f(2)＝e2f(0)D．f(2)>e2f(0)二、填空题：（每小题5分，共20分）．13．下列命题中_________为真命题．①“A∩B=A”成立的必要条件是“AB”；②“若x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题；③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题。14．若p：“平行四边形一定是菱形”，则“¬P”为______________________．15．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．16．抛物线的焦点为,在抛物线上,且,弦的中点在其准线上的射影为,则的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共70分)．17（本题满分10分）已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2-a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x＋2ax0＋2-a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．18（本题满分12分）已知函数f(x)＝xlnx.(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)≥－x2＋ax－6在(0，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．-9-\n19（本题满分12分）已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC=OA+λOB，求λ的值．20（本题满分12分）已知f(x)＝－ax2＋x－(1＋x)，其中a>0.(1)若x＝3是函数f(x)的极值点，求a的值；(2)讨论f(x)的单调区间；(3)若f(x)在[0，＋∞)上的最大值是0，求a的取值范围．21(本小题满分12分)设圆的圆心为A，点B的坐标为(1，0)，P为圆A上的动点，线段BP的垂直平分线与AP相交于点Q.（1）求点Q的轨迹方程；-9-\n（2）设点Q的轨迹为曲线C，直线l:y=k(x+1)(k≠0)与曲线C相交于M，N两点，M关于x轴的对称点为R，直线RN与x轴交于点T，求面积的取值范围.22(本小题满分12分)已知函数．（1）若在定义域上恒成立，求实数的取值范围;（2）若函数存在两个相异零点，求证：.-9-\n芷兰2022年下学期高二年级期中考试A卷数学（文科）参考答案一、选择题DBBDCDDBABCD二、填空题13．②④14．平行四边形不一定是菱形；或至少有一个平行四边形不是菱形15．(－∞，－1]16．22三、解答题17、（本题满分10分）[解析] ∵“p且q”是真命题，∴p为真命题，q也为真命题．……………………2分若p为真命题，∵x∈[1,2]时，a≤x2恒成立，∴a≤1.……………………5分若q为真命题，即x2＋2ax＋2－a＝0有实根，Δ＝4a2－4(2－a)≥0，∴a≥1或a≤－2，……………………8分综上知所求实数a的取值范围是a≤－2或a＝1.……………………10分18．（本题满分12分）[解析] (1)∵f′(x)＝lnx＋1，∴由f′(x)<0得lnx<－1，∴0<x<，∴函数f(x)的单调递减区间是(0，)．……………………5分(2)∵f(x)≥－x2＋ax－6，∴a≤lnx＋x＋，……………………7分设g(x)＝lnx＋x＋，则g′(x)＝＝，……………………9分当x∈(0,2)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增．∴g(x)最小值为g(2)＝5＋ln2，……………………11分∴实数a的取值范围是(－∞，5＋ln2]．……………………12分-9-\n19、（本题满分12分）解：(1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.……………………3分由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.……………………6分(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，从而A(1，－2)，B(4,4)．设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1，4λ－2)，……………………9分又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.……………………12分20．[解析] (1)由题意得f′(x)＝，x∈(－1，＋∞)，由f′(3)＝0⇒a＝，经检验符合题意．……………………4分(2)令f′(x)＝0⇒x1＝0，x2＝－1，①当0<a<1时，x1<x2，∴f(x)的单调递增区间是(0，－1)，f(x)的单调递减区间是(－1,0)和(－1，＋∞)；②当a＝1时，f(x)的单调递减区间是(－1，＋∞)；③当a>1时，－1<x2<0∴f(x)的单调递增区间是(－1,0)，f(x)的单调递减区间是(－1，－1)和(0，＋∞)．-9-\n综上，当0<a<1时，f(x)的单调递增区间是(0，－1)．f(x)的单调递减区间是(－1,0)，(－1，＋∞)，当a>1，f(x)的单调递增区间是(－1,0)．f(x)的单调递减区间是(－1，－1)，(0，＋∞)．当a＝1时，f(x)的单调递减区间为(－1，＋∞)．……………………8分(3)由(2)可知当0<a<1时，f(x)在(0，＋∞)的最大值是f(－1)，但f(－1)>f(0)＝0，所以0<a<1不合题意，当a≥1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，由f(x)≤f(0)可得f(x)在[0，＋∞)上的最大值为f(0)＝0，符合题意，∴f(x)在[0，＋∞)上的最大值为0时，a的取值范围是a≥1.……………………12分21．解：（Ⅰ）由题设可知：，所以故点Q的轨迹是以A,B为焦点的椭圆，设椭圆方程为：则焦距，，，，所以椭圆方程为：----4分（Ⅱ）法一：设M,N,则R联立消y得:则，--------6分所以--------7分直线RT：，由y=0得-9-\nx，故T(－4，0)--------9分点T到直线l:y=k(x+1)的距离为d=故的面积S--------10分令，则S所以--------12分（Ⅱ）法二：设M,N,则R联立消y得:则，--------6分直线RT：，由y=0得x，故T(－4，0)--------8分所以的面积S------10分令，则S所以--------12分22．解：（Ⅰ），--------1分令，易知，--------3分-9-\n，……………5分（Ⅱ）-------6分--------7分,--------10分-9-
