2022年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）(考试时间：115分钟试卷满分：150分)一、单选题（本题共12小题,每小题5分,共60分.）3、某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）A、B、C、D、4、某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二2000人、高三n人中，抽取90人进行问卷调查．已知高一被抽取的人数为36，那么高三被抽取的人数为（ ）A、20B、24C、30D、32A、5B、±5C、10D、±107、设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是”•＜0”的（ ）-8-\nA、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件8、已知等差数列的前项和为，满足，且，则中最大的是（ ）12、已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A、B、C、3D、2二、填空题（本题共4小题,每小题5分,共20分.）14、已知椭圆，过点P（3，1）作一弦，使弦在这点处被平分，则此弦所在的直线的斜率值为____________．-8-\n三、解答题（本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18、(本小题12分)如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠CAD=，AC=，cos∠ADB=﹣．（1）求sin∠C的值；（2）若BD=2DC，求边AB的长．19、(本小题12分)如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°．（1）证明：直线BC∥平面PAD；（2）若△PCD面积为2，求四棱锥P﹣ABCD的体积．20、(本小题12分)已知数列{an}是非常值数列，且满足an+2=2an+1﹣an（n∈N*），其前n项和为sn，若s5=70，a2，a7，a22成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列的前n项和为Tn，求证：．-8-\n22、(本小题12分)已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点B是椭圆C的上顶点，点Q在椭圆C上（异于B点）．（1）若椭圆V过点（﹣，），求椭圆C的方程；（2）若直线l：y=kx+b与椭圆C交于B、P两点，若以PQ为直径的圆过点B，证明：存在k∈R，=．-8-\n答案一、单选题（本题共12小题,每小题5分,共60分.）题号123456789101112答案DAABCAABBCBA二、填空题（本题共4小题,每小题5分,共20分.）13.414.15.16.三、解答题（本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.解：（1）正数x，y满足x+3y=5xy，∴=5．∴3x+4y=（3x+4y）=（13+≥=5，当且仅当x=1，y=时取等号．∴3x+4y的最小值为1．（2）∵正数x，y满足x+3y=5xy，∴5xy≥，解得：xy≥，当且仅当x=3y=时取等号．∴xy的最小值为．18.解：（1）在△ABC中，因为cos∠ADB=﹣且∠ADB∈（0，π），所以sin∠ADB=．因为∠CAD=，所以C=∠ADB﹣．所以sin∠C=sin（∠ADB﹣）==．-8-\n（2）在△ACD中，由正弦定理得，∴CD=，∵BD=2DC，∴BC=，∴AB==19.（1）证明：四棱锥P﹣ABCD中，∵∠BAD=∠ABC=90°．∴BC∥AD，∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴直线BC∥平面PAD；（2）解：四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°．设AD=2x，则AB=BC=x，CD=，O是AD的中点，连接PO，OC，CD的中点为：E，连接OE，则OE=，PO=，PE==，△PCD面积为2，可得：=2，即：，解得x=2，PE=2．则VP﹣ABCD=×（BC+AD）×AB×PE==4．20.解：（1）因为数列满足an+2=2an+1﹣an（n∈N*），所以{an}是等差数列且s5=70，∴5a1+10d=70．①∵a2，a7，a22成等比数列，∴，即．②由①，②解得a1=6，d=4或a1=14，d=0（舍去），∴an=4n+2．（2）证明：由（1）可得，所以．则=-8-\n=．∵，∴．∵，∴数列{Tn}是递增数列，∴∴22.解：（1）椭圆的离心率e===，则a2=2b2，将点（﹣，）代入椭圆方程，解得：a2=4，b2=2，∴椭圆的标准方程为：，（2）由题意的对称性可知：设存在存在k＞0，使得=，由a2=2b2，椭圆方程为：，将直线方程代入椭圆方程，整理得：（1+2k2）x2+4kbx=0，解得：xP=﹣，则丨BP丨=×，由BP⊥BQ，则丨BQ丨=×丨丨=•，由=．，则2×=•，-8-\n整理得：2k3﹣2k2+4k﹣1=0，设f（x）=2k3﹣2k2+4k﹣1，由f（）＜0，f（）＞0，∴函数f（x）存在零点，∴存在k∈R，=-8-
