宜昌市葛洲坝中学2022－2022学年度第二学期高二年级期中考试试卷数学（理科）试题考试时间：2022年4月一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确。请用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑。）1．复数=（）A．B．C．0D．2.一个物体的运动方程为其中的单位是米,的单位是秒,那么物体，在秒末的瞬时速度是（）米/秒A．2B．4C.6D.83.函数单调递增区间是（）A．B．C．D．4．若，则的值为( )A.6B.4C.3D.2.5.在用数学归纳法证明时，则当时左端应在的基础上加上的项是（）A．B．C．D．6.在弹性限度内，弹簧所受的压缩力与缩短的距离按胡克定律计算.今有一弹簧原长，每压缩需的压缩力，若把这根弹簧从压缩至（在弹性限度内），外力克服弹簧的弹力做了（）功（单位：）A.B.C.0.686D.0.987.直线与曲线相切于点（2,3），则的值为（）A.-3B.9C.-15D.-78.已知，观察下列各式：，，，．．．，类比有(),则()A．B．C．D．9．下列说法正确的有几个（）（1）回归直线过样本点的中心；-8-\n（2）线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点，，中的一个点；（3）在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越宽，其模型拟合的精度越高；（4）在回归分析中，为0.98的模型比为0.80的模型拟合的效果好.A.1B.2C.3D.410.已知实数a，b满足≤a≤1，≤b≤1，则函数y＝x3－ax2＋bx＋5有极值的概率为( )A.B.C.D.11.定义在R上的可导函数f(x),且f(x)图像连续,当x≠0时,,则函数的零点的个数为（ ）A.1B.2C.0D.0或2[.Co12.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”。某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。设函数，则=()A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案填在答题卡中相应的位置上。）O-241-1-21211.若是纯虚数，则实数的值为_______12.观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49……照此规律，第7个等式为。13.如右图，是定义域为R的函数的图象，是函数的导函数，则不等式的解集为14.已知函数是定义在R上的奇函数，且时，函数取极值1;若对任意的，均有成立，则s的最小值为__________三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）-8-\n15．（本小题10分）已知函数⑴求的最小正周期及对称中心;⑵若,求的最大值和最小值.16.(本小题满分10分)在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，.（1）求与；（2）设数列满足，求的前项和.17．（本小题满分12分）（第17题）如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，，，面，设为中点，点在线段上且．（1）求证：平面；（2）设二面角的大小为，若，求的长．18.（本小题满分12分）一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1，2，3，4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为x1，x2，记X＝(x1－3)2+(x2－3)2．(1)分别求出X取得最大值和最小值时的概率；(2)求X的分布列及数学期望．-8-\n19.（本小题满分12分）已知椭圆的右焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）设经过点M（0，2）作直线AB交椭圆C于A、B两点，求△AOB面积的最大值20．（本小题满分14分）已知，，，其中是无理数且，.（1）若，求的单调区间与极值；（2）求证：在（1）的条件下，；（3）是否存在实数，使的最小值是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.题号123456789101112答案ACCADACDBCCB11.___1__12.13.14.15.解:⑴-8-\n∴的最小正周期为,令,则,∴的对称中心为;⑵∵∴∴∴∴当时,的最小值为;当时,的最大值为16.解（1）设的公差为.因为所以……………………3分解得或（舍），.……………………5分故，.……………………7分（2）由（1）可知，，……………………8分所以.故17.解：（Ⅰ）由，得，．又面，所以以分别为轴建立坐标系如图．则设，则．设，得：．解得：，，，所以．……..5分所以,，．-8-\n设面的法向量为，则，取．因为，且面，所以平面．……..9分（Ⅱ）设面法向量为，因为，，所以，取．……..11分由，得．，，所以．….解：（Ⅰ）设，则，知.18.解：(1)掷出点数x可能是：1，2，3，4.则x－3分别得：－2，－1，0，1.于是(x－3)2的所有取值分别为：0，1，4.因此X的所有取值为0，1，2，4，5，8.当x1＝1且x2＝1时，X＝(x1－3)2＋(x2－3)2可取得最大值8，P(X＝8)＝×＝.当x1＝3且x2＝3时，X＝(x1－3)2＋(x2－3)2可取得最小值0，P(X＝0)＝×＝.……………4分(2)由(1)知X的所有取值为0，1，2，4，5，8.……………5分P(X＝0)＝P(X＝8)＝；当X＝1时，(x1，x2)的所有取值为(2，3)，(4，3)，(3，2)，(3，4)，即P(X＝1)＝＝；当X＝2时，(x1，x2)的所有取值为(2，2)，(4，4)，(4，2)，(2，4)，即P(X＝2)＝＝；当X＝4时，(x1，x2)的所有取值为(1，3)，(3，1)，即P(X＝4)＝＝；当X＝5时，(x1，x2)的所有取值为(2，1)，(1，4)，(1，2)，(4，1)，即P(X＝5)＝＝.所以X的分布列为012458-8-\n19.过点且与轴垂直的直线方程为，代入椭圆方程，有，解得.于是，解得.又，从而.所以椭圆的方程为．…………………………………（4分）（Ⅱ）设，.由题意可设直线的方程为.由消去并整理，得.由，得.由韦达定理，得.点到直线的距离为，，.设，由，知.于是.由，得.当且仅当时等号成立.所以△面积的最大值为20.解：（1）当a=1时，，，（1分）令，得x=1.当时，，此时单调递减；（2分）当时，，此时单调递增.（3分）所以的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，e），的极小值为.（4分）-8-\n（2）由（1）知在上的最小值为1.（5分）令，，所以.（6分）当时，，在上单调递增，（7分）所以.故在（1）的条件下，.（8分）（3）假设存在实数a，使（）有最小值-1.因为，（9分）①当时，，在上单调递增，此时无最小值；（10分）②当时，当时，，故在（0，a）单调递减；当时，，故在（a，e）单调递增；（11分）所以，得，满足条件；（12分）③当时，因为，所以，故在上单调递减.，得（舍去）；（13分）综上，存在实数，使得在上的最小值为-1.（14分）-8-
