宜昌市葛洲坝中学2022-2022学年第二学期高二年级期中考试试卷数学(文)试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z＝2－i，则的值为( )．A．5B．C．3D．2．已知，，，则A．B．C．D．3．已知向量，则A．B．C．D．4．有下列关于三角函数的命题，若，则；与函数的图象相同；；的最小正周期为．其中真命题是A．，B．，C．，D．，5．三棱锥的顶点坐标依次为，则三棱锥的体积为A．B．C．D．6．某单位为了了解办公楼用电量y(度)与气温x(oC)之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表：气温(oC)181310－1用电量(度)24343864由表中数据得到线性回归方程，当气温为－4oC时，预测用电量约为A．68度B．52度C．12度D．28度7．从半径为r的圆内接正方形的4个顶点及圆心5个点中任取2个点，则这两个点间的距离小于或等于半径的概率为-8-\nA．B．C．D．8．已知平面直角坐标系xoy上的区域D由不等式给定，若为D上任一点，点A的坐标为，则的最大值为A．3B．4C．D．9．已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为A．B．C．D．10．函数在区间[0，3]上的零点的个数为A．2B．3C．4D．511．过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若E为线段PF的中点，则双曲线的离心率等于A．B．C．D．12.设函数，，若的解集为M，的解集为N，当时，则函数的最大值是A．0B．C．D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有▲株树木的底部周长小于100cm．14．设为等比数列，其中，，阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出结果为▲．是否输出s开始结束-8-\n15．在中，，，，则▲．16．设是一个平面，是平面上的一个图形，若在平面上存在一个定点A和一个定角，使得上的任意一点以A为中心顺时针（或逆时针）旋转角，所得到的图形与原图形重合，则称定点A为对称中心，为旋转角，为旋转对称图形．若以下4个图形，从左至右依次是正三角形、正方形、正五边形、正六边形，它们都是旋转对称图形，则它们的最小旋转角依次为▲；若是一个正n边形，则其最小旋转角用n可以表示为▲．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分12分）已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列.（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和.18.（本题满分12分）某车间20名工人年龄数据如右表：年龄(岁)工人数(人)191283293305314323401合计20(1)求这20名工人年龄的众数与极差；(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；(3)求这20名工人年龄的方差．19．（本题满分12分）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，、分别为、的中点.（1）求证：平面平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积.20．（本题满分12分）已知函数f(x)＝xlnx.-8-\n(1)求f(x)的最小值；(2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax－1成立，求实数a的取值范围．21．（本题满分12分）如图，O为坐标原点，双曲线C1：(a1＞0，b1＞0)和椭圆C2：(a2＞b2＞0)均过点，且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．(1)求C1，C2的方程；(2)是否存在直线l，使得l与C1交于A，B两点，与C2只有一个公共点，且？证明你的结论．请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，求23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ＝sinθ与ρcosθ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C1与C2交点的直角坐标．24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲设函数．(1)证明：f(x)≥4；(2)若f(3)＜5，求a的取值范围．-8-\n宜昌市葛洲坝中学2022-2022学年第二学期高二年级期中考试试卷数学(文)答案命题人：胡安林审核人：考试时间：2022年4月第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A2．D3．A4．D5．B6．A7．B8．B9.B10．C11．C12．D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．2414.415．116.；（说明前一个空2分，后一个空3分）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分12分）已知是等差数列，…….解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得.所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1,2，…)．……………………………………………………2分设等比数列{bn－an}的公比为q，由题意得，解得q＝2.……………………………………………………3分所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1.从而bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)．……………………………………………………6分(2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)．数列{3n}的前n项和为，数列{2n－1}的前n项和为.所以，数列{bn}的前n项和为.……………………………………………12分18.（本题满分12分）某车间20名工人年龄数据如右表：……(1)由图可知，众数为30.极差为：40－19＝21.…………………………………………3分(2)192888999300000111122240……………………………………………………6分(3)根据表格可得：，………………………………………-8-\n9分∴s2＝[(19－30)2＋3(28－30)2＋3(29－30)2＋5(30－30)2＋4(31－30)2＋3(32－30)2＋(41－30)2]＝13.65.……………………………………………………12分19．（本题满分12分）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，……(1)证明：在三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥底面ABC.所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面B1BCC1.所以平面ABE⊥平面B1BCC1.……………………………………………………4分(2)证明：取AB的中点G，连接EG，FG.因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FG∥AC，且.因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1.所以四边形FGEC1为平行四边形．所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，所以C1F∥平面ABE.……………………………………………………8分(3)解：因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以.所以三棱锥E－ABC的体积.……………………………………………………12分20．（本题满分12分）已知函数f(x)＝xlnx.(1)求……解：（1）定义域为……………………………………………………1分……………………………………………………3分；有极小值也是最小值为……………………………………………………6分（2）……………………………………………………8分令，所以函数单调递增，有最小值……………………………………………………11分-8-\n……………………………………………………12分21．（本题满分12分）如图，O为坐标……解：(1)设C2的焦距为2c2，由题意知，2c2＝2,2a1＝2.从而a1＝1，c2＝1.因为点在双曲线上，所以.故.……………………………………………………3分由椭圆的定义知.于是，.故C1，C2的方程分别为，.……………………………………6分(2)不存在符合题设条件的直线．①若直线l垂直于x轴，因为l与C2只有一个公共点，所以直线l的方程为或.当时，易知，，所以，.此时，.当时，同理可知，..……………………………………8分②若直线l不垂直于x轴，设l的方程为y＝kx＋m.由得(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0.当l与C1相交于A，B两点时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，从而，.于是y1y2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝.由得(2k2＋3)x2＋4kmx＋2m2－6＝0.因为直线l与C2只有一个公共点，所以上述方程的判别式Δ＝16k2m2－8(2k2＋3)(m2－3)＝0.化简，得2k2＝m2－3，因此，于是，即，故.综合①，②可知，不存在符合题设条件的直线．.……………………………………12分-8-\n22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，求答案：3.……………………………………10分23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ＝sinθ与ρcosθ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C1与C2交点的直角坐标．答案：.……………………………………10分24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲设函数．(1)证明：f(x)≥4；(2)若f(3)＜5，求a的取值范围．解：(1)由a＞0，有.所以f(x)≥4.……………………………………4分(2).当时，，由f(3)＜5得.……………………………………7分当0＜a<3时，f(3)＝6－a＋，由f(3)＜5得.综上，a的取值范围是.……………………………………10分-8-
