宜昌一中2022届高三年级12月月考数学（文）试题一．选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．)1．设全集，集合，，则（）A．B．C．D．2．若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（）A．B．C．D．3．设命题，，且；命题关于的函数（且）是指数函数，则命题成立是命题成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设，则的大小关系是()A．B．C．D．5．已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，给出下列命题：①若；第6题图②若；③如果相交；④若其中正确的命题是（）A．①③B．②④C．②③D．①④6．几何体的三视图如图所示，且正视图、侧视图都是矩形，则该几何体的体积是()A．B．C．D．7．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于（）A．B．C．D．8.在中，已知，，点在斜边上，，则的值为（）A．B．C．D．7\n9．在中，角的对边分别为，若，则的值为（）A．B．C．D．10．不等式组表示的区域为，不等式表示的平面区域为．若与有且只有一个公共点，则实数等于（）A．B．C．D．11．椭圆的半焦距为，左焦点为，右顶点为，抛物线与椭圆交于，两点，若四边形是菱形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．12．已知是定义在上的奇函数，当0<x<3时，那么不等式的解集是（）A．B．C．D．二．填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请将答案填在答题卡的相应位置．)13．对于实数，表示不超过的最大整数，观察下列等式：按照此规律第个等式等号右边为．14．阅读如图所示程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填的是．15．已知函数，则函数的零点个数为个．16．在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．已知点是角终边上一点，，定义．对于下列说法：①函数的值域是；②函数的图象关于原点对称；③函数的图象关于直线对称；④函数是周期函数，其最小正周期为；⑤函数的单调递减区间是其中正确的是．（填上所有正确命题的序号）7\n三．解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．)17．（本小题满分12分）已知数列{an}的首项为1，前n项和Sn满足．（1）求Sn与数列{an}的通项公式；（2）设（n∈N*），求使不等式成立的最小正整数．18．（本小题满分12分）在某高校自主招生考试中，所有选报II类志向的考生都要参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为五个等级.某考场考生的两科考试成绩数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为的考生有人.第（18）题图（1）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为的人数；（2）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为.在至少一科成绩为的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为的概率.19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝45°，PD平面ABCD，PD=AD=1，点E为AB上一点，且，点F为PD中点.（1）若，求证：直线AF平面PEC；（2）是否存在一个常数，使得平面PAB平面PED，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．xyBAQPDO20．（本小题满分12分）已知抛物线和直线，直线与轴的交点，过点的直线交抛物线于、两点，与直线交于点。（1）记的面积为，求的取值范围；（2）设，，求的值．7\n21．（本小题满分12分）设函数，其中．(1)若函数图象恒过定点，且点关于直线的对称点在的图象上，求的值；(2)当时，设，讨论的单调性；(3)在(1)的条件下，设，曲线上是否存在两点、，使(为原点)是以为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在轴上？如果存在，求的取值范围；如果不存在，请说明理由．请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22．（本小题满分10分）选修：几何证明选讲如图，过点作圆的割线与切线，为切点，连接，，的平分线与，分别交于点，，其中．（1）求证：；（2）求的大小．23．（本小题满分10分）选修；坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知某圆的极坐标方程为：．（1）将极坐标方程化为普通方程；（2）若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．24．（本小题满分10分）选修：不等式选讲已知函数，（1）解关于的不等式；（2）若函数的图像恒在函数图像的上方，求实数的取值范围.7\n宜昌一中2022届高三年级12月月考数学（文）试题答案1----5DAADD6----10BACCC11----12DB13．14．15．216．①③④17．解：（1）因为，所以是首项为1，公差为1的等差数列，则=1+(n－1)1=n，从而Sn=n2．…………………3分当n=1时，a1=S1=1，当n>1时，an=Sn－Sn－1=n2－(n－1)2=2n－1．因为也符合上式，所以an=2n－1．…………………6分（2）由（Ⅰ）知，……………8分所以，……………10分由，解得n>12．所以使不等式成立的最小正整数为13．……………12分18．解：（1）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有人……………………2分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为……………………6分（2）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，所以还有2人只有一个科目得分为A，设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁},有6个基本事件设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，则.……………………12分19．证明：作FM∥CD交PC于M.∵点F为PD中点，∴.∵，∴，∴AEMF为平行四边形，∴AF∥EM.∵，∴直线AF平面PEC.………………………………………6分(2)存在常数，使得平面PED⊥PAB.………………………………7分7\n∵，，，∴.又∵∠DAB＝45°，∴AB⊥DE.又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AB.又∵，∴AB⊥平面PDE.∵，∴平面PED⊥平面PAB.…………………………………12分20．解：（1）设AB：y=kx+2（，，由，得，所以……………6分（2）由已知得，而，所以……………12分21．解：（1）令，则，关于的对称点为（1，0），∞由题知.……4分（2），定义域为，.∵则，∴当时，>0,此时在上单调递增，当时，由得由得，此时在上为增函数，在为减函数，综上当时，在上为增函数，时，在上为增函数，在为减函数.……8分（3）由条件（1）知.假设曲线上存在两点、满足题意，则、两点只能在轴两侧，设则∵△POQ是以为直角顶点的直角三角形，∴,即.①（1）当时，此时方程①为7\n化简得.此方程无解，满足条件的、两点不存在.（2）当时，，方程①为即设则显然当时即在(2，+∞)为增函数，∴的值域为即(0，+∞)∴当时方程①总有解.综上若存在、两点满足题意，则的取值范围是(0，+∞).……12分（22）解：(1)由题意可知，，，则△∽△，则，又，则.(5分)(2)由，，可得，在△中，，可知.(10分)（23）解：（1）ρ2＝x2＋y2ρcosθ＝x，ρsinθ＝y∴圆的普通方程为…5分（2）由(x－2)2＋y2＝2………………7分设(α为参数)所以x＋y的最大值4，最小值0…10分（24）解：（1）由得，故不等式的解集为…………5分（2）∵函数的图象恒在函数图象的上方∴恒成立，即恒成立………………8分∵，∴的取值范围为.…………………………………………10分7
