宜昌一中2022届高三年级12月月考数学试题（理）本试卷共4页，共24题满分150分，考试用时120分钟。一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确的答案填涂在答题卡上）1．已知复数（i为虚数单位），则()A．B．C．D．2．等差数列的前项和为，且，则（）A．B．C．D．3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）A．B．C．D．4．下列说法中，不正确的是（）A．已知，命题“若，则”为真命题；B．命题“”的否定是：“”；C．命题“或”为真命题，则命题和命题均为真命题；D．“”是“”的充分不必要条件.5.已知时，，，，则()A．0.043B．0.0215C．0.3413D．0.47726．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的左支上，且，则此双曲线离心率的最大值为（）A．B．C．D．7．设满足约束条件若目标函数的最大值为10，则的最小值为（）A．B．5C．25D．248．函数在时的切线和x轴交于，若，则数列的前n项和为（）A.B.C.D.8\n9．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的个数是()(1)AC⊥BE；(2)若P为AA1上的一点,则P到平面BEF的距离为；(3)三棱锥A-BEF的体积为定值；(4)在空间与三条直线DD1，AB，B1C1都相交的直线有无数条.A．0B．1C．2D．310．已知为的外心，，，若，且，则（）。A．B．C．D．11.已知集合M＝{1，2，3}，N＝{1，2，3，4}，定义函数f：M→N.若点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))，△ABC的外接圆圆心为D，且＋＝λ(λ∈R)，则满足条件的函数f(x)有( )A．6个B．10个C．12个D．16个12．已知是定义在上的单调函数，且对任意的，都有，则方程的解所在的区间是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知集合.14.三角形ABC的内角A,B的对边分别为，若，则三角形ABC的形状为________.15.设各项均为正整数的无穷等差数列{an}，满足a54=2022，且存在正整数k，使a1，a54，ak成等比数列，则公差d的所有可能取值之和为．16.定义：，其中是虚数单位，，且实数指数幂的运算性质对都成立.若，，则．（结果用复数的代数形式表示）三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本题满分12分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期的图象时，列表并填入的部分数据如下表：8\n求，，的值及函数的表达式；若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围.18．（本题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面⊥平面，是的中点．(1)求证：∥平面；(2)在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．19．（本题满分12分）我市在夜明珠与黄柏河交汇形成的平湖水面上修建”三峡游轮中心”.其中有小型游艇出租给游客游玩，收费标准如下：租用时间不超过2小时收费100，超过2小时的部分按每小时100收取（不足一小时按一小时计算）．现甲、乙两人独立来该景点租用小型游艇，各租一次．设甲、乙租用不超过两小时的概率分别为，；租用2小时以上且不超过3小时的概率分别为，，且两人租用的时间都不超过4小时．（Ⅰ）求甲、乙两人所付费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付的费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望．8\n20．（本题满分12分）中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆经过两点.分别过椭圆的焦点、的动直线相交于点，与椭圆分别交于不同四点，直线的斜率、、、满足．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在定点，使得为定值．若存在，求出点坐标并求出此定值，若不存在，说明理由．21．（本题满分12分）已知函数有且只有一个零点，其中a＞0.（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若对任意的，有成立，求实数k的最大值；（III）设，对任意，证明：不等式恒成立.请考生在22、23、24中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做,则按所做第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.（本题满分10分）选修4-1:几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，锐角∠ABC的平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D.（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径.23.（本题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴.已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）求的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与曲线交于两点，求弦长.24.（本题满分10分）选修4－5:不等式选讲对于任意的实数()和,不等式恒成立,记实数的最大值是.（Ⅰ）求的值;（Ⅱ）解不等式.8\n宜昌一中2022届高三年级12月考试数学（理）参考答案ADBCBABDABCC13.14.等腰三角形或直角三角形15.9216.………9分………11分的取值范围为分18.(1)证明 由已知，MN∥AD∥BC，连结BN，设CM与BN交于F，连结EF，如图所示．又MN＝AD＝BC，所以四边形BCNM是平行四边形，F是BN的中点．又E是AB的中点，所以AN∥EF.…………5分因为EF⊂平面MEC，AN⊄平面MEC，所以AN∥平面MEC.…………6分(2)法一：如图所示，假设在线段AM上存在点P，使二面角P－EC－D的大小为.延长DA，CE交于点Q，过A作AH⊥EQ于H，连结PH.因为四边形ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，所以MA⊥平面ABCD，又CQ⊂平面ABCD，所以MA⊥EQ，又MA∩AH＝A，所以EQ⊥平面PAH，所以EQ⊥PH，∠PHA为二面角P－EC－D的平面角．由题意，知∠PHA＝.在△QAE中，AE＝1，AQ＝2，∠QAE＝120°，则EQ＝＝，所以AH＝＝.又在Rt△PAH中，∠PHA＝，则AP＝AH×tan30°＝×＝＝<1.所以在线段AM上存在点P，使二面角P－EC－D的大小为，此时AP的长为.……12分法二：空间向量法建系并写出点的坐标………2分法向量过程………2分公式求解得答案………2分19．解：（1）甲、乙所付费用可以为、元、元…………………1分甲、乙两人所付费用都是元的概率为…………………2分8\n甲、乙两人所付费用都是元的概率为…………………3分甲、乙两人所付费用都是元的概率为故甲、乙两人所付费用相等的概率为………………5分（2）随机变量的取值可以为……………………………6分故的分布列为：……………………………………………11分的数学期望是………………………………………………………12分20．解：（1）设椭圆的方程为 ………1分将 代入有………3分∴椭圆E的方程为．………4分（2）焦点、坐标分别为(—1，0)、(1，0)．当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为(—1，0)或(1，0)．当直线l1、l2斜率都存在时，设斜率分别为，，设，，由得：，∴，．………6分，同理．∵，∴，即．8\n由题意知， ∴．………9分设，则，即，………10分由当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为(—1，0)或(1，0)也满足此方程，∴点椭圆上，………11分∴存在点M、N其坐标分别为，使得为定值．……12分21．解：（Ⅰ）的定义域为，．由，得.∵当时，；当时，，∴在区间上是增函数，在区间上是减函数，∴在处取得最大值．由题意知，解得．………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知=ln(x+1)-x，当k≥0时，取x=1得，，知k≥0不合题意.当时，设.则.令，得，.①若≤0，即k≤-时，在上恒成立，∴在上是增函数，从而总有，即≥在上恒成立.②若，即时，对于，，∴在上单调递减.于是，当取时，，即≥不成立.故不合题意.综上，的最大值为.…………………………………7分（Ⅲ）由．不妨设，则要证明，只需证明，即，即证．设，则只需证明，化简得．设，则，∴在上单调递增，∴．即，得证．故原不等式恒成立．……………12分8\n8
