海南省海口四中2022-2022学年高一数学下学期期末考试试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝9，则数列{an}的公差为()A.1B.2C.3D.42.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝3，c＝2，则A＝()A. B.C.D.3.若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝，则c可用向量a，b表示为()A.B.C.D.4.下列命题中，正确的是（ ）A.若，，则B.若，则C.若，则D.若，，则5.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是()A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形6.已知等比数列{an}的前n项积记为Ⅱn，若a3a4a8＝8，则Ⅱ9＝()A.512B.256C.81D.167.在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝()A.B.0C.D.38.设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝()A.B.10C.D.9.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还。”其意思为:有一个人走了378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天所走的路程为前一天的一半,走了6天到达目的地,请问第二天走了()A.192里B.96里C.48里D.24里10.已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集为A∩B，则a＋b等于()A.3B.1C.D.11.在△ABC中，已知a-b=4，a+c=2b，且最大角为120°，则这个三角形的最大边等于（ ）A.4B.14C.4或14D.2412.已知不等式(x＋y)≥16对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A.3B.6C.9D.1212\n二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知向量a=(m,4)，b=(3,-2)，且a∥b，则m=___________.2.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，sinB＝，C＝，则b＝ .3.实数x，y满足x＋2y＝2，则3x＋9y的最小值是________________.4.直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）5.已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求数列{an}的通项公式．6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2B＋sin2C＝sin2A＋sinBsinC.(1)求角A的大小；(2)若cosB＝，a＝3，求c的值．7.等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.(Ⅰ)求{an}的通项公式；(Ⅱ)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.12\n1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2b－c)cosA＝acosC．(1)求角A的大小；(2)若a＝3，b＝2c，求△ABC的面积．2.已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.(1)若a＝2，试求函数y＝(x>0)的最小值；(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，试求a的取值范围．3.数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，Sn为其前n项和．数列{bn}为等差数列，且满足b1＝a1，b4＝S3.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：≤Tn<.12\n答案和解析1.【答案】D【解析】略2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题.【解答】解：易知cosA＝＝＝，又A∈(0，π)，所以A＝，故选C．3.【答案】A【解析】略4.【答案】C【解析】【分析】此题考查利用不等式的性质比较大小，注意不等式的性质应用的条件.【解答】解：举出反例：虽然5＞-1＞-2但5×（-1）＜2×（2），故A不正确；对于B：若c<0，则不成立， 出反例：虽然5＞4，3＞1，但5-3＜4-1，故D不确； ∵，∴，∴a＜b，故C正确；选C．5.【答案】B【解析】略6.【答案】A【解析】略12\n7.【答案】A【解析】依题意有a·b＋b·c＋c·a＝＋＋＝－，故选A.8.【答案】D【解析】略9.【答案】B【解析】【分析】本题考查等比数列的求和公式，求出数列的首项是解决问题的关键，属基础题．由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由求和公式可得首项，可得答案．【解答】解：由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得=378，解得a1=192，∴第此人二天走192×=96步.故选B.10.【答案】D【解析】略11.【答案】B【解析】解：∵a-b=4，a+c=2b，∴a=c+8，b=c+4∴a为最大边∵最大角为120°，∴（c+8）2=c2+（c+4）2-2c（c+4）cos120°∴c2-2c-24=0∴c=6或-4（负值舍去）∴a=c+8=14故选B．12\n先确定最大边，再利用余弦定理求出最小边c的值，即可求得结论．本题考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．12.【答案】C【解析】略13.【答案】-6【解析】【分析】本题考查了平面向量共线的充要条件.直接利用向量共线的充要条件列出方程求解得结论.【解答】解:向量,,由得 ,解得m=-6．故答案为-6.14.【答案】1【解析】【分析】本题主要考查正弦定理，首先根据，得出∠B的度数，进而得出∠A的度数，然后根据正弦定理得出b的值.【解答】解：∵sinB＝且B∈(0，π)，∴B＝或B＝.又∵C＝，B＋C<π，12\n∴B＝，A＝π－B－C＝.∵a＝，由正弦定理得＝，即＝，解得b＝1.故答案为1.15.【答案】6【解析】【分析】本题考查了基本不等式和指数运算的性质，解题的关键是基本不等式的熟练运用．利用基本不等式和指数运算的性质即可得出． 【解答】解：∵实数x，y满足x+2y=2，∴，当且仅当x=2y=1时取等号．因此3x+9y的最小值为6．故答案为6．16.【答案】【解析】【分析】本题考查直线的斜率公式的应用，属于基础题．先设出当直线l过B时直线l的倾斜角为α，求出tanα，当直线l过A时直线l的倾斜角为β，求出tanβ，则直线l斜率的取值范围可求．【解答】解：当直线l过B时设直线l的倾斜角为α（0≤α＜π），则tanα=，当直线l过A时设直线l的倾斜角为β（0≤β＜π），则tanβ=，直线l斜率的取值范围为．12\n故答案为．17.【答案】解：(1)由 (n∈N*)，可得 ，解得a1＝1； ，解得a2＝2；同理，a3＝3，a4＝4．(2) ，①，当n≥2时， ，②，①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0．由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1，又由(1)知a1＝1，故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n．【解析】本题考查了数列的递推关系、等差数列的判定和通项公式，是中档题.(1)由题意得 ，解得a1， ，解得a2，同理，a3，a4．(2) ，①，当n≥2时， ，②，由①－②得an－an－1＝1，所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，从而得出结果.12\n18.【答案】解：（1）由正弦定理可得，由余弦定理：，∵∴；（2）由（1）可知，sinA=，∵，B为三角形的内角, ∴,∴, 由正弦定理，得.【解析】此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．（1）利用余弦定理表示出，已知等式利用正弦定理化简，代入计算求出的值，即可确定出A的度数；（2）由cosB的值求出sinB的值，再由cosA与sinA的值，利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入求出的值，即为sinC的值，利用正弦定理求出c的值即可．19.【答案】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，∵a3+a4=4，a5+a7=6．∴，解得：，∴an=；（Ⅱ）∵bn=[an]，∴b1=b2=b3=1，b4=b5=2，b6=b7=b8=3，b9=b10=412\n．故数列{bn}的前10项和S10=3×1+2×2+3×3+2×4=24．【解析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，根据已知构造关于首项和公差方程组，解得答案；（Ⅱ）根据bn=[an]，列出数列{bn}的前10项，相加可得答案．本题考查的知识点是等差数列的通项公式，等差数列的性质，难度中档．20.【答案】解:(1)因为（2b-c）cosA=acosC，由正弦定理得：2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，即2sinBcosA=sin（A+C），所以2sinBcosA=sinB，∵0＜B＜π，∴sinB≠0，所以，因为0＜A＜π，所以;(2) 因为b=2c,所以，解得，∴,所以．【解析】本题考查余弦定理，正弦定理，三角形中的三角函数，三角形面积公式的综合应用，属于基本知识的考查.(1)由正弦定理及三角函数恒等变换化简已知可得2sinBcosA=sinB，由sinB≠0，可得，结合A的范围，即可解得A的值; (2)由b=2c及余弦定理结合,解得c，b，由三角形面积公式即可得解.21.【答案】解：(1)依题意得y＝＝＝x＋－4.因为x>0，所以x＋≥2. 当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立．12\n所以y≥－2. 所以当x＝1时，y＝的最小值为－2.(2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1，所以要使得“任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立”只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]上恒成立”．当x＝0时，显然恒成立，a∈R；当x∈(0,2]时，有a≥，令g(x)＝，则g(x)＝在(0,2]上单调递增，∴g(x)max＝g(2)＝.∴a≥.综上得a的取值范围是[，＋∞)．【解析】本题考查利用基本不等式求最值以及利用函数的单调性求最值.（1）函数y＝(x>0)=，由基本不等式可求得最小值；（2）不等式即为，由函数的单调性求出最大值，就得到a的取值范围.22.【答案】解：（1）因为，所以数列是等比数列，且，又，所以，所以，，因为是等差数列，且，，所以，所以.（2）由题意，，所以,12\n所以，,因为当，，所以是一个递增数列，所以，又（）,综上所述，.【解析】本题主要考查等差数列与等比数列，数列的递推以及不等式关系.（1）利用题中条件求出等差数列的首项和公差、等比数列的首项和公比，按照定义求、的通项公式；（2）将求出的数列、的通项代入得到的通项公式，求得的表达式，根据不等式性质及单调性得出结论即可.12
