浙江省金华市金东区傅村镇初级中学2022届高三数学（理）适应性考试（三）试题

浙江省金华市金东区傅村镇初级中学2022届高三数学（理）适应性考试（三）试题一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1．已知i为虚数单位，，若是纯虚数，则的值为A．-1或1B．1C．-1D．32．若是偶函数，则p是q的A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．下列函数中，在上单调递减，并且是偶函数的是A．B．C．D．4．观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量之间关系最强的是A．B．C．D．5．如图所示的程序框图，该算法的功能是A．计算…的值B．计算…的值C．计算……的值第5题图D．计算……的值6．双曲线：的左、右焦点分别为，渐近线分别为，点P在第一象限内且在上，若，则该双曲线的离心率为A．B．2C．D．-17-7．△各角的对应边分别为，满足，则角的范围是A．B．C．D．8．函数的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数在上的最小值为A．B．C．D．≥≥9．已知实数满足：，，则的取值范围是A．B．C．D．10．若一个圆柱的正视图与其侧面展开图相似，则这个圆柱的侧面积与全面积之比为A．B．C．D．11．已知函数的图象在点与点处的切线互相垂直，并交于点，则点的坐标可能是A．B．C．D．12．为圆：上任意一点，为圆：上任意一点，中点组成的区域为，在内部任取一点，则该点落在区域上的概率为A．B．C．D．二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13．．-17-14．已知函数，则．15．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则圆锥的体积为．16．在平面直角坐标系中，已知点在椭圆上，点满足，且，则线段在轴上的投影长度的最大值为．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（本小题满分12分）设数列的前项和，数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．18．（本小题满分分）低碳生活，从“衣食住行”开始．在国内一些网站中出现了“碳足迹”的应用，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量，如家居用电的二氧化碳排放量（千克）＝耗电度数，家用天然气的二氧化碳排放量（千克）＝天然气使用立方数等．某校开展“节能减排，保护环境，从我做起！”的活动，该校高一、六班同学利用假期在东城、西城两个小区进行了逐户的关于“生活习惯是否符合低碳排放标准”的调查．生活习惯符合低碳观念的称为“低碳家庭”，否则称为“非低碳家庭”．经统计，这两类家庭占各自小区总户数的比例数据如下：东城小区低碳家庭非低碳家庭西城小区低碳家庭非低碳家庭比例比例（1）如果在东城、西城两个小区内各随机选择2个家庭，求这个家庭中恰好有两个家庭是“低碳家庭”的概率；（2）该班同学在东城小区经过大力宣传节能减排的重要意义，每周“非低碳家庭”中有的家庭能加入到“低碳家庭”的行列中．宣传两周后随机地从东城小区中任选个家庭，记表示个家庭中“低碳家庭”的个数，求和．-17-19．（本小题满分分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，是中点，为上一点．（1）求证：平面；（2）当为何值时，二面角为．20．（本小题满分分）已知抛物线：和：的焦点分别为，交于两点（为坐标原点），且.（1）求抛物线的方程；（2）过点的直线交的下半部分于点，交的左半部分于点，点坐标为，求△面积的最小值.21．（本小题满分分）已知函数，．≥≥（1）若函数的图象在处的切线与轴平行，求的值；（2）若，恒成立，求的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.23．（本小题满分分）选修4─4：坐标系与参数方程选讲．-17-已知曲线的参数方程为（为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线．（1）求曲线的普通方程；（2）若点在曲线上，点，当点在曲线上运动时，求中点的轨迹方程．24．（本小题满分分）选修4─5：不等式证明选讲．≥已知函数．（1）求的解集；（2）设函数，若对任意的都成立，求的取值范围．1．【答案】C2．【答案】A3．【答案】【解析】四个函数中，是偶函数的有，又在内单调递增，故选．4．【答案】【解析】在频率等高条形图中，与相差很大时，我们认为两个分类变量有关系，四个选项中，即等高的条形图中所占比例相差越大，则分类-17-变量关系越强，故选．5．【答案】【解析】初始值，第次进入循环体：，；当第次进入循环体时：，，…，给定正整数，当时，最后一次进入循环体，则有：…，，退出循环体，输出……，故选．6．【答案】B7．【答案】【解析】由得：，化简得：，同除以得，，即，所以，故选．8．【答案】【解析】函数向左平移个单位得，又其为奇函数，故则，，解得，又，令，得，∴，又∵，∴，即当时，，故选．9．【答案】-17-【解析】画出约束条件限定的可行域为如图阴影区域，令，则，先画出直线，再平移直线，当经过点，时，代入，可知，∴，故选．10．【答案】【解析】设圆柱的底面半径为，高为，则，则，则侧，全，故圆柱的侧面积与全面积之比为，故选．11．【答案】【解析】由题，，，则过两点的切线斜率，，又切线互相垂直，所以，即.两条切线方程分别为，联立得，∵，∴，代入，解得，故选．12．【答案】【解析1】设，中点，则代入，得，化简得：-17-，又表示以原点为圆心半径为5的圆，故易知轨迹是在以为圆心以为半径的圆绕原点一周所形成的图形，即在以原点为圆心，宽度为3的圆环带上，即应有，那么在内部任取一点落在内的概率为，故选．【解析2】设，，，则，①，②，①2②2得：，所以的轨迹是以原点为圆心，以为半径的圆环，那么在内部任取一点落在内的概率为，故选．13．【答案】14．【答案】【解析】∵，且，∴．15．【答案】【解析】过圆锥的旋转轴作轴截面，得△及其内切圆和外切圆，且两圆同圆心，即△的内心与外心重合，易得△为正三角形，由题意的半径为，∴△的边长为，∴圆锥的底面半径为，-17-高为，∴．16．【答案】【解析】，即，则三点共线，，所以与同向，∴，设与轴夹角为，设点坐标为，为点在轴的投影，则在轴上的投影长度为.当且仅当时等号成立．则线段在轴上的投影长度的最大值为．【解析】（1）当时，………………………2分由，得，∴∴………………………6分（2）当时，，∴…………………7分当时，……9分-17-+…+…+…+…………11分上式对于也成立，所以．………12分18．【解析】（1）设事件“个家庭中恰好有两个家庭是‘低碳家庭’”为，………1分则有以下三种情况：“低碳家庭”均来自东城小区，“低碳家庭”分别来自东城、西城两个小区，“低碳家庭”均来自西城小区．∴．…6分（2）因为东城小区每周有的人加入“低碳家庭”行列，经过两周后，两类家庭占东城小区总家庭数的比例如下：小区低碳家庭非低碳家庭………8分由题意，两周后东城小区个家庭中的“低碳家庭”的个数服从二项分布，即………10分∴，………11分．………12分19．【解析】『法一』(1)取中点为，连结，………1分∵分别为中点∴∥∥，-17-∴四点共面，………3分且平面平面又平面，且∥平面∴∥∵为的中点，∴是的中点，………5分∴．………6分（2）连结，………7分因为三棱柱为直三棱柱，∴平面∴，即四边形为矩形，且∵是的中点，∴，又平面，∴，从而平面………9分∴是在平面内的射影∴与平面所成的角为∠又∥，∴直线和平面所成的角即与平面所成的角…10分设，且三角形是等腰三角形∴，则，∴∴直线和平面所成的角的余弦值为．………12分-17-『法二』（1）因为三棱柱为直三棱柱，∴平面，又∴以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图空间直角坐标系.………1分设，又三角形是等腰三角形，所以易得，，，所以有，设平面的一个法向量为，则有，即，令，有………4分（也可直接证明为平面法向量）设，，又，∴若∥平面，则，所以有，解得，∴………6分（2）由（1）可知平面的一个法向量是，，，求得设直线和平面所成的角为，，-17-则，………11分所以∴直线和平面所成的角的余弦值为．………12分20．【解析】（1）由已知得：，，∴………1分联立解得或，即，，∴………3分∵，∴，即，解得，∴的方程为．………5分『法二』设，有①，由题意知，，，∴………1分∵，∴，有，解得，………3分将其代入①式解得，从而求得，所以的方程为．………5分（2）设过的直线方程为联立得，联立得………7分在直线上，设点到直线的距离为，点到直线-17-的距离为则………8分………10分当且仅当时，“”成立，即当过原点直线为时，…11分△面积取得最小值．………12分『法二』联立得，联立得，………7分从而，点到直线的距离，进而………9分令，有，………11分当，即时，即当过原点直线为时，△面积取得最小值．………12分-17-21．【解析】（1）………2分因为在处切线与轴平行，即在切线斜率为即，∴．………5分（2），令，则，所以在内单调递增，（i）当即时，，在内单调递增，要想只需要，解得，从而………8分（ii）当即时，由在内单调递增知，存在唯一使得，有，令解得，令解得，从而对于在处取最小值，，又，从而应有，即，解得，由可得，有，综上所述，．………12分22．【解析】（1）根据弦切角定理，知，，∴△∽△，则，故.…5分（2）根据切割线定理，知，，-17-两式相除，得（*）.由△∽△，得，，又，由（*）得．………10分23.【解析】（1）将代入，得的参数方程为∴曲线的普通方程为．………5分（2）设，，又，且中点为所以有：又点在曲线上，∴代入的普通方程得∴动点的轨迹方程为．………10分24.【解析】（1）∴即∴①或②或③解得不等式①：；②：无解③：所以的解集为或．………5分（2）即的图象恒在图象的上方-17-图象为恒过定点，且斜率变化的一条直线作函数图象如图,其中，，∴由图可知，要使得的图象恒在图象的上方∴实数的取值范围为．……-17-