嘉兴市第一中学2022学年第一学期期末考试高二数学（理科）试题卷满分[100]分，时间[120]分钟2022年2月一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为（）A．1B.C.D．22.命题“若，则”的否命题是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则3.椭圆上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为（）A.6B.7C.8D.94.已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（）A．B．C．D．5．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“m⊥β”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．在圆x2＋y2＋2x－4y＝0内，过点(0,1)的最短弦所在直线的倾斜角是（）A.B.C.D.第7题7.如图，在正方形内作内切圆，将正方形、圆绕对角线旋转一周得到的两个旋转体的体积依次记为，，则（）A.B.C.D.8．给出下列四个命题：①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；-10-\n④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂第9题正视图俯视图侧视图直．其中为真命题的是（）A．②和④B．②和③C．③和④D．①和②9．在棱长为的正方体内有一四面体，其中分别为正方体两条棱的中点，其三视图如图所示，则四面体的体积为（）A．B．C．D．10.设点分别在直线和上运动，线段的中点恒在直线上或者其右上方区域。则直线斜率的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11.已知l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是________．12.直线经过,且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍的直线方程为．13.若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则a的最大值为________．14.已知点F1、F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则椭圆的离心率是_________．第17题15.当实数满足时，恒成立，则实数的取值范围是．16.如果圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围为.17．如图，已知边长为2的正△，顶点在平面内，顶点在平面外的同一侧，点分别为在平面上的投影，设，直线与平面所成的角为．若△是以-10-\n为直角的直角三角形，则的范围为_______．三、解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（本小题满分8分）已知命题“若，则有实根”．写出命题的逆否命题并判断其真假．19.（本小题满分8分）已知三角形中，．（1）求点的轨迹方程；（2）求三角形的面积的最大值．第20题20.（本小题满分10分）如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值．21.（本小题满分12分）已知直线的方程为，，点的坐标为．（1）求点到直线的距离的最大值；（2）设点在直线上的射影为点，的坐标为，求线段长的取值范围．22.（本小题满分11分）如图，已知边长为4的菱形中，，.将菱形沿对角线折起得到三棱锥，设二面角的大小为.（1）当时，求异面直线与所成角的余弦值；（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值.第22题-10-\n●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●密封线班级学号姓名（密封线内不要答题）●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●嘉兴市第一中学2022学年第一学期期末考试高二数学（理科）答题卷满分[100]分，时间[120]分钟2022年2月一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）请把答案填涂在答题卡上二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11.12.13.14.15.16.17.三、解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（本小题满分8分）已知命题“若，则有实根”．写出命题的逆否命题并判断其真假．19.（本小题满分8分）已知三角形中，．（1）求点的轨迹方程；（2）求三角形的面积的最大值．-10-\n第20题20.（本小题满分10分）如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值．21.（本小题满分12分）已知直线的方程为，，点的坐标为．（1）求点到直线的距离的最大值；（2）设点在直线上的射影为点，的坐标为，求线段长的取值范围．-10-\n●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●密封线内不要答题●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●22.（本小题满分11分）如图，已知边长为4的菱形中，，.将菱形沿对角线折起得到三棱锥，设二面角的大小为.（1）当时，求异面直线与所成角的余弦值；（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值.第22题-10-\n嘉兴市第一中学2022学年第一学期期末考试高二数学（理科）参考答案及评分标准命题人：沈新权审核人:刘舸、王英姿一、选择题12345678910BACDABDADB二、填空题11.12.或13.14.15.16.或17.-10-\n三、解答题18.解法一：原命题：若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根．逆否命题：若x2＋x－a＝0无实根，则a＜0.判断如下：∵x2＋x－a＝0无实根，∴Δ＝1＋4a＜0，∴a＜－＜0，∴“若x2＋x－a＝0无实根，则a＜0”为真命题．解法二：∵a≥0，∴4a≥0，∴4a＋1＞0，∴方程x2＋x－a＝0的判别式Δ＝4a＋1＞0，∴方程x2＋x－a＝0有实根．故原命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”为真．又因原命题与其逆否命题等价，∴“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题为真．19.解：（1）以为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，则，设，由，得，即为点的轨迹方程，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆．（2）由于，所以，因为，所以，所以，即三角形的面积的最大值为.20.解：（1）取中点，连结．为正三角形，．正三棱柱中，平面平面，平面．连结，在正方形中，分别为的中点，，．在正方形中，，平面．（2）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（Ⅰ）得平面．，为二面角的平面角．在中，由等面积法可求得，又，．21.解：（1）由得，所以直线恒过直线与直线交点，解方程组得，所以直线恒过定点，且定点为．设点在直线上的射影为点，则，当且仅当直线与垂直时，等号成立，所以点到直线的距离的最大值即为线段的长度为．（3）因为直线绕着点旋转，所以点在以线段为直径的圆上，其圆心为点-10-\n，半径为，因为的坐标为，所以，从而．22.解：方法一：由题意可知二面角的平面角为，即，（1）当时，即，分别取，的中点，，连结，，，∵，，∴为异面直线与所成的角或其补角，在△中，，，，∴，即异面直线与所成角的余弦值为．（2）当时，即，由题意可知平面，△为等边三角形，取的中点，则有平面，且，∵，即（其中为点到平面的距离），∴，即直线与平面所成角的正弦值.方法二：（1）如图建立空间直角坐标系，由题意可知，∴，∴，即异面直线与所成角的余弦值为；-10-\n（2）如图建立空间直角坐标系，由题意可知，，设平面的法向量为，∴,即可得，设直线与平面所成的角为．则，即直线与平面所成角的正弦值.-10-
