2022-2022学年高三上学期期中考试数学理科试题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.已知集合M={1，2，3}，N={1，3，4}，则M∩N=( )A.{1，3}B.{1，2，3，4}C.{2，4}D.{1，3，4}2.设命题p：∃x<0，x2≥1，则¬p为( )A.∀x≥0，x2<1B.∀x<0，x2<1C.∀x≥0，x2<1D.∀x<0，x2<13.要得到函数y=sin(2x+π3)的图象，只要将函数y=sinx的图象( )A.先向左平移π6个单位，再将各点横坐标变为原来的12倍B.先向右平移π6个单位，再将各点横坐标变为原来的2倍C.先向左平移π3个单位，再将各点横坐标变为原来的12倍D.先向右平移π3个单位，再将各点横坐标变为原来的2倍4.函数f(x)=1ln(5-2x)+ex-1的定义域为( )A.[0，+∞)B.(-∞，2]C.[0，2]D.[0，2)5.若变量x，y满足条件y≤xx+y≤1y≥-1，则目标函数z=2x+y的最小值为( )A.-3B.-2C.-1D.16.已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t(小时)的函数表达式是( )A.x=60tB.x=60t+50tC.x=60t，(0≤t≤2.5)150-50t，(t>3.5)D.x=60t，(0≤t≤2.5)150，(2.5≤t≤3.5)150-50(t-3.5)，(3.5<t≤6.5)7.函数y=2x2-3xex的图象大致是( )A.B.15\nC.D.1.设x∈R，若函数f(x)为单调递增函数，且对任意实数x，都有f[f(x)-2x]=3，则f(3)=( )A.1B.3C.6D.92.如图，在▱ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点，且AM=34AB，AN=23AD，连接AC，MN交于P点，若AP=λAC，则λ的值为( )
A.35B.37C.613D.6173.已知函数f(x)=-x5-3x3-5x+3，若f(a)+f(a-2)>6，则实数a的取值范围是( )A.(-∞，3)B.(3，+∞)C.(1，+∞)D.(-∞，1)二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）4.01(3x2-12)dx的值是______．5.不等式|x+3|-|x-3|>3的解集是______．6.已知cos(α-π4)=45，α∈(0，π4)，则cos2αsin(α+π4)=______．7.如图，一艘船下午13：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30∘处，之后它继续沿正北方向匀速航行，14：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75∘处，且与它相距92海里，则此船的航速为______海里/小时．
8.设函数f(x)=1,x=1loga|x-1|-1,x≠1，若函数g(x)=[f(x)]2+bf(x)+c有三个零点x1，x2，x3，则x1x2+x2x3+x1x3=______．三、解答题（本大题共6小题，共75.0分）9.设函数f(x)=sinωx⋅cosωx-3cos2ωx+32(ω>0)的图象上相邻最高点与最低点距离为π2+4．(1)求ω的值；(2)若函数y=f(x+φ)(0<φ<π2)是奇函数，求函数g(x)=cos(2x-φ)在区间[0，2π]上的单调减区间．15\n1.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若20sinA⋅BC+15sinB⋅CA+12sinC⋅AB=0．(1)试判断△ABC的形状；(2)设|AB|=5，点P是△ABC内切圆上的动点，求PA2+PB2+PC2的取值范围．2.已知m∈R，设p：对∀x∈[-1，1]，x2-2x-4m2+8m-2≥0恒成立；q：∃x∈[1，2]，log12(x2-mx+1)<-1成立.如果“p∨q”为真，“p∧q”为假，求m的取值范围．3.已知数列{an}满足：a1=1，an=an-1+n，(n≥2，n∈N*).(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)设bn=1an，求数列{bn}的前n项和Sn．4.在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间)，每单位时间的用氧量为(v10)3+1(升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(升)，返回水面的平均速度为v2(米/单位时间)，每单位时间用氧量为1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y(升)．(1)求y关于v的函数关系式；(2)若c≤v≤15(c>0)，求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少．15\n1.已知曲线 C：y=x3-x+2.求曲线C过点P(1，2)处的切线方程．15\n答案和解析【答案】1.解：集合M={1，2，3}，N={1，3，4}，∴M∩N={1，3}．故选：A．根据交集的定义写出M∩N．本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题目． 2.A 2.解：特称命题的否定是全称命题，∴¬p：∀x∈R，都有x2<1．故选：B．根据含有量词的命题的否定进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础． 3.B 3.解：将函数y=sinx的图象先向左平移π3个单位，可得y=sin(x+π3)的图象，再将各点横坐标变为原来的12倍，可得函数y=sin(2x+π3)的图象，故选：C．利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题． 4.C 4.解：由ln(5-2x)>0ex-1≥0，解得0≤x<2．∴函数f(x)=1ln(5-2x)+ex-1的定义域为：[0，2)．故选：D．直接由根式内部的对数式大于等于0，分式的分母不等于0，列出不等式组，求解即可得答案．本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式的解法，是基础题． 5.D 5.解：变量x，y满足y≤xx+y≤1y≥-1的平面区域如图：目标函数z=2x+y变形为y=-2x+z，当此直线经过图中A时z最小，由y=xy=-1得到A(-1，-1)，所以z=2×(-1)-1=-3；故选：A．画出平面区域，利用目标函数等于直线在y轴的截距得到最最优解位置，求得z的最小值．本题考查了简单线性规划问题；首先正确画出平面区域，利用目标函数的几何意义求最小值． 6.A 6.解：由题意得A，B两地相距150km，某人开汽车以60km/h的速度从A地到达B地，可得从A到B须要2.5小时，以50km/h的速度返回A地，从B到A需要3小时∴当0≤t≤2.5时，x=60t，当2.5<t≤3.5时，x=150，当3.5<t≤6.5时，x=150-50(t-3.5)15\n，故x=60t，(0≤t≤2.5)150，(2.5≤t≤3.5)150-50(t-3.5)，(3.5<t≤6.5)故选D由已知中A，B两地相距150km，某人开汽车以60km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1h后再以50km/h的速度返回A地，我们可以分别求出A到B，停留，及B到A时路程x(km)表示为时间t(h)的函数表达式，综合讨论结果，即可得到函数的解析式．本题考查的重点是分段函数的解析式，其中分类讨论每一段上函数的解析式，是解答本题的关键． 7.D 7.解：令函数y=2x2-3xex=0，则x=0，或x=32，即函数有两个零点，故排除B；当0<x<32时，函数值为负，图象出现在第四象限，故排除C；由x→+∞lim2x2-3xex=0，可排除D，故选：A求出函数的零点个数，图象所过象限及极限值，利用排除法，可得答案．本题考查的知识点是函数的图象，函数的极限，超越函数的图象比较难画，排除法是常用的解题方法，难度中档． 8.A 8.解：设f(x)-2x=t，则f(x)=t+2x，则条件转化为f(t)=3，令x=t，则f(t)=t+2t=3，易得t=1．∴f(x)=2x+1，∴f(3)=23+1=9．利用换元法将函数转化为f(t)=3，求出函数f(x)的表达式，即可得到结论．本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数f(x)的解析式是解决本题的关键． 9.D 9.解：∵AM=34AB，AN=23AD，∴AP=λAC=λ(AB+AD)=λ(32AN+43AM)=32λAN+43λAM，∵三点M，N，P共线.∴32λ+43λ=1，则λ=617．故选：D．AM=34AB，AN=23AD，∴AP=λAC=λ(AB+AD)=λ(32AN+43AM)=32λAN+43λAM，三点M，N，P共线．32λ+43λ=1，即可求得λ．本题考查了平面向量的线性运算，及三点共线的充要条件，属于中档题． 10.D 10.解：∵f(x)=-x5-3x3-5x+3，∴f(-x)=x5+3x3+5x+3，可得f(-x)+f(x)=6对任意的x均成立．因此不等式f(a)+f(a-2)>6，即f(a-2)>6-f(a)，等价于f(a-2)>f(-a)恒成立，∴f(x)是R上的单调减函数，所以由f(a-2)>f(-a)得到a-2<-a，即a<115\n故选：D由函数的解析式，算出f(-x)+f(x)=6对任意的x均成立.因此原不等式等价于f(a-2)>f(-a)，再利用导数证出f(x)是R上的单调减函数，可得原不等式即a-2<-a，由此即可解出实数a的取值范围．本题给出多项式函数，求解关于a的不等式，着重考查了利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性和不等式的解法等知识，属于中档题． 11.D 11.解：01(3x2-12)dx=(x3-12x)|01=(1-12)-0=12．故答案为：12．求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和下限作差得答案．本题考查定积分，关键是求出被积函数的原函数，是基础题．12.1212.解：当x<-3时，有不等式可得-(x+3)+(x-3)>3，得-6>3，无解．当-3≤x≤3时，有x+3+x-3>3，解得x>32，∴32<x≤3．当x>3时，有x+3-(x-3)>3，即6>3，∴x>3.综上，有x>32．故原不等式的解集为{x|x>32}，故答案为{x|x>32}．分x<-3、-3≤x≤3、x>3三种情况，分别去掉绝对值，化为与之等价的不等式来解，最后把这三个解集取并集，即得所求．本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．13.{x|x>32}13.解：∵α∈(0，π4)，∴α-π4∈(-π4，0)，∵cos(α-π4)=45，∴sin(α-π4)=-1-(45)2=35，cos2αsin(α+π4)=-sin2(α-π4)cos(α-π4)=-2sin(α-π4)cos(α-π4)cos(α-π4)=-2sin(α-π4)=-65．故答案是：-65．利用诱导公式和二倍角公式进行化简求值．本题主要考察了同角三角函数关系式和二倍角公式的应用，属于基本知识的考查．14.-6515\n14.解：由题意得BS=92，∠A=30∘，∠ABS=105∘，∴∠S=45∘．在△ABS中，由正弦定理得ABsin45∘=BSsin30∘，∴AB=92×2212=18．∴船的速度为V=180.5=36海里/小时．故答案为：36．求出∠S，利用正弦定理得出AB，从而得出船的航行速度．本题考查了正弦定理的应用，属于基础题．15.3615.解：不妨设a>1(或0<a<1)，作出f(x)的函数图象如图所示：设f(x)=t，由图象可知：当t=1时，方程f(x)=t有3解，当t≠1时，方程f(x)=t有2解，∵函数g(x)=[f(x)]2+bf(x)+c有三个零点，∴关于t的方程t2+bt+c=0有且只有一解t=1，∴f(x)=1，∴x1，x2，x3是f(x)=1的三个解，不妨设x1<x2<x3，则x2=1，令loga|x-1|-1=1得x=1±a2，∴x1=1-a2，x3=1+a2．∴x1x2+x2x3+x1x3=1+a2+1-a2+1-a4=3-a4．故答案为：3-a4．设f(x)=t，根据f(x)的函数图象得出方程f(x)=t的根的个数，从而得出f(x)=1，故而可求出f(x)=1的三个解，得出答案．本题主要考查了根的存在性及根的个数判断，考查学生分析解决问题的能力，确定只有当f(x)=1时，它有三个根是关键．16.3-a416.(1)由已知利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f(x)=sin(2ωx-π3)，设T为f(x)的最小值周期，由题意得(T2)2+[2f(x)max]2=π2+4，结合f(x)max=1，可求T的值，利用周期公式可求ω的值．(2)由题意可求f(x+φ)=sin(x+φ-π3)是奇函数，则sin(φ-π3)=0，结合0<φ<π2，可求φ，进而可求函数g(x)的解析式，利用余弦函数的图象和性质可求其单调递减区间，结合范围x∈[0，2π]，即可得解．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，周期公式，余弦函数的图象和性质，由15\ny=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．17.解：(1)∵f(x)=sinωx⋅cosωx-3cos2ωx+32=12sin2ωx-3(1+cos2ωx)2+32=12sin2ωx-32cos2ωx=sin(2ωx-π3)，设T为f(x)的最小值周期，由f(x)图象上相邻最高点与最低点的距离为π2+4，得(T2)2+[2f(x)max]2=π2+4，∵f(x)max=1，∴(T2)2+4=π2+4，整理可得T=2π，又∵ω>0，T=2π2ω=2π，∴ω=12．(2)由(1)可得f(x)=sin(x-π3)，∴f(x+φ)=sin(x+φ-π3)，∵y=f(x+φ)是奇函数，则sin(φ-π3)=0，又∵0<φ<π2，∴φ=π3，∴g(x)=cos(2x-φ)=cos(2x-π3)，令2kπ≤2x-π3≤2kπ+π，(k∈Z)，则kπ+π6≤x≤kπ+2π3，(k∈Z)，∴单调递减区间是[kπ+π6，kπ+2π3]，(k∈Z)，又∵x∈[0，2π]，∴当k=0时，递减区间为[π6，2π3]；当k=1时，递减区间为[7π6，5π3]，∴函数g(x)在[0，2π]上的单调递减区间是[π6，2π3]，[7π6，5π3]．17.(1)由条件利用正弦定理可得20a⋅BC+15b⋅CA+12c⋅AB=0，化简可得可得15b-20a=0，且12c-20a=0，求得c2-b2=a2，故△ABC为直角三角形．(2)以CA所在边为x轴建立直角坐标系，得内切圆方程为(x-1)2+(y-1)2=1，设P坐标为(x，y)，化简要求的式子为28-2x，根据0≤x≤2，求得要求式子的值．本题主要考查两个向量的数量积的运算，正弦定理的应用，属于中档题．18.解：(1)△ABC中，由20sinA⋅BC+15sinB⋅CA+12sinC⋅AB=0，利用正弦定理得20a⋅BC+15b⋅CA+12c⋅AB=0，又BC=BA+AC=-(AB+CA)，故(15b-20a)CA+(12c-20a)AB=0．由CA、AB为不共线向量，可得15b-20a=0，且12c-20a=015\n，所以b=43a，c=53a，从而c2-b2=a2，故△ABC为直角三角形．(2)以CA所在边为x轴建立直角坐标系，得内切圆方程为(x-1)2+(y-1)2=1，设P坐标为(x，y)，则PA2+PB2+PC2=(x-4)2+y2+x2+(y-3)2+x2+y2 =3x2+3y2-8x-6y+25=28-2x，因为 0≤x≤2，所以，28-2x∈[18，22]．18.如果“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p与q一真一假，进而可得m的取值范围．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，函数恒成立问题，函数的最值，难度中档．19.解：若p为真：对∀x∈[-1，1]，4m2-8m≤x2-2x-2恒成立，设f(x)=x2-2x-2，配方得f(x)=(x-1)2-3，∴f(x)在[-1，1]上的最小值为-3，∴4m2-8m≤-3，解得12≤m≤32，∴p为真时，12≤m≤32；若q为真：∃x∈[1，2]，x2-mx+1>2成立，∴m<x2-1x成立，设g(x)=x2-1x=x-1x，易知g(x)在[1，2]上是增函数，∴g(x)的最大值为g(2)=32，∴m<32，∵“p∨q”为真，“p∧q”为假，∴p与q一真一假，当p真q假时，12≤m≤32m≥32，∴m=32，当p假q真时，m<12或m>32m<32，∴m<12，综上所述，m的取值范围为m<12或m=32．19.(Ⅰ)由已知，得an-an-1=n(n≥2，n∈N*)，利用累加法求通项公式(Ⅱ)bn=1an=2n(n+1)=2(1n-1n+1)，利用裂项求和法求数列{bn}的前n项和Sn本题考查累加法，裂项法在数列计算中的应用，考查计算能力．20.解：(Ⅰ)an-an-1=n(n≥2，n∈N*)15\n∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+2+3+…+n=n(n+1)2，(n∈N*)当n=1时满足上式，∴an=n(n+1)2. (Ⅱ)bn=1an=2n(n+1)=2(1n-1n+1)∴Sn=b1+b2+…+bn=2[(1-12)+(12-13)+…+(1n-1n+1)]=2nn+120.(1)分别计算潜入水底用时、用氧量；水底作业时用氧量；返回水面用时、用氧量，即可得到总用氧量的函数；(2)利用基本不等式可得v=1032，时取等号，再结合c≤v≤15(c>0)，即可求得确定下潜速度v，使总的用氧量最少．本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查导数知识，考查分类讨论的数学思想．21.解：(1)由题意，下潜用时60v(单位时间)，用氧量为[(v10)3+1]×60v=3v250+60v(升)，水底作业时的用氧量为10×0.9=9(升)，返回水面用时60v2=120v(单位时间)，用氧量为120v×1.5=180v(升)，∴总用氧量y=3v250+240v+9(v>0)．(2)y'=6v50-240v2=3(v3-2000)25v2，令得v=1032，在0<v<1032时，，函数单调递减，在v>1032时，0'/>，函数单调递增，∴当c<1032时，函数在(0，1032)上递减，在(1032，15)上递增，∴此时v=1032时用氧量最少.当c≥1032时，[c，15]上递增，此时v=c时，总用氧量最少．21.求出原函数的导函数，设出切点坐标，写出过切点的切线方程，代入点P的坐标求解切点横坐标，代回切线方程得答案．本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，解答的关键在于区分给出的定点是否为切点，是中档题．22.解：由y=x3-x+2，得y'=3x2-1，设切点为(x0，x03-x0+2)，则y'|x=x0=3x02-1．∴曲线 C：y=x3-x+2过切点的切线方程为y-x03+x0-2=(3x02-1)(x-x0)．代入P(1，2)得，得2x03-3x02+1=0，解得x0=-12或x0=1．∴曲线C过点P(1，2)处的切线方程为y=2x或y=-14x+94．【解析】1~2.解：集合M={1，2，3}，N={1，3，4}，∴M∩N={1，3}15\n．故选：A．根据交集的定义写出M∩N．本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题目．2~3.解：特称命题的否定是全称命题，∴¬p：∀x∈R，都有x2<1．故选：B．根据含有量词的命题的否定进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3~4.解：将函数y=sinx的图象先向左平移π3个单位，可得y=sin(x+π3)的图象，再将各点横坐标变为原来的12倍，可得函数y=sin(2x+π3)的图象，故选：C．利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．4~5.解：由ln(5-2x)>0ex-1≥0，解得0≤x<2．∴函数f(x)=1ln(5-2x)+ex-1的定义域为：[0，2)．故选：D．直接由根式内部的对数式大于等于0，分式的分母不等于0，列出不等式组，求解即可得答案．本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式的解法，是基础题．5~6.解：变量x，y满足y≤xx+y≤1y≥-1的平面区域如图：目标函数z=2x+y变形为y=-2x+z，当此直线经过图中A时z最小，由y=xy=-1得到A(-1，-1)，所以z=2×(-1)-1=-3；故选：A．画出平面区域，利用目标函数等于直线在y轴的截距得到最最优解位置，求得z的最小值．本题考查了简单线性规划问题；首先正确画出平面区域，利用目标函数的几何意义求最小值．6~7.解：由题意得A，B两地相距150km，某人开汽车以60km/h的速度从A地到达B地，可得从A到B须要2.5小时，以50km/h的速度返回A地，从B到A需要3小时∴当0≤t≤2.5时，x=60t，当2.5<t≤3.5时，x=150，当3.5<t≤6.5时，x=150-50(t-3.5)，故x=60t，(0≤t≤2.5)150，(2.5≤t≤3.5)150-50(t-3.5)，(3.5<t≤6.5)故选D由已知中A，B两地相距150km，某人开汽车以60km/h的速度从A地到达B地，在B15\n地停留1h后再以50km/h的速度返回A地，我们可以分别求出A到B，停留，及B到A时路程x(km)表示为时间t(h)的函数表达式，综合讨论结果，即可得到函数的解析式．本题考查的重点是分段函数的解析式，其中分类讨论每一段上函数的解析式，是解答本题的关键．7~8.解：令函数y=2x2-3xex=0，则x=0，或x=32，即函数有两个零点，故排除B；当0<x<32时，函数值为负，图象出现在第四象限，故排除C；由x→+∞lim2x2-3xex=0，可排除D，故选：A求出函数的零点个数，图象所过象限及极限值，利用排除法，可得答案．本题考查的知识点是函数的图象，函数的极限，超越函数的图象比较难画，排除法是常用的解题方法，难度中档．8~9.解：设f(x)-2x=t，则f(x)=t+2x，则条件转化为f(t)=3，令x=t，则f(t)=t+2t=3，易得t=1．∴f(x)=2x+1，∴f(3)=23+1=9．利用换元法将函数转化为f(t)=3，求出函数f(x)的表达式，即可得到结论．本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数f(x)的解析式是解决本题的关键．9~10.解：∵AM=34AB，AN=23AD，∴AP=λAC=λ(AB+AD)=λ(32AN+43AM)=32λAN+43λAM，∵三点M，N，P共线.∴32λ+43λ=1，则λ=617．故选：D．AM=34AB，AN=23AD，∴AP=λAC=λ(AB+AD)=λ(32AN+43AM)=32λAN+43λAM，三点M，N，P共线．32λ+43λ=1，即可求得λ．本题考查了平面向量的线性运算，及三点共线的充要条件，属于中档题．10~11.解：∵f(x)=-x5-3x3-5x+3，∴f(-x)=x5+3x3+5x+3，可得f(-x)+f(x)=6对任意的x均成立．因此不等式f(a)+f(a-2)>6，即f(a-2)>6-f(a)，等价于f(a-2)>f(-a)恒成立，∴f(x)是R上的单调减函数，所以由f(a-2)>f(-a)得到a-2<-a，即a<1故选：D由函数的解析式，算出f(-x)+f(x)=6对任意的x均成立.因此原不等式等价于f(a-2)>f(-a)，再利用导数证出f(x)是R上的单调减函数，可得原不等式即a-2<-a，由此即可解出实数a15\n的取值范围．本题给出多项式函数，求解关于a的不等式，着重考查了利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性和不等式的解法等知识，属于中档题．11~12.解：01(3x2-12)dx=(x3-12x)|01=(1-12)-0=12．故答案为：12．求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和下限作差得答案．本题考查定积分，关键是求出被积函数的原函数，是基础题．12~13.解：当x<-3时，有不等式可得-(x+3)+(x-3)>3，得-6>3，无解．当-3≤x≤3时，有x+3+x-3>3，解得x>32，∴32<x≤3．当x>3时，有x+3-(x-3)>3，即6>3，∴x>3.综上，有x>32．故原不等式的解集为{x|x>32}，故答案为{x|x>32}．分x<-3、-3≤x≤3、x>3三种情况，分别去掉绝对值，化为与之等价的不等式来解，最后把这三个解集取并集，即得所求．本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．13~14.解：∵α∈(0，π4)，∴α-π4∈(-π4，0)，∵cos(α-π4)=45，∴sin(α-π4)=-1-(45)2=35，cos2αsin(α+π4)=-sin2(α-π4)cos(α-π4)=-2sin(α-π4)cos(α-π4)cos(α-π4)=-2sin(α-π4)=-65．故答案是：-65．利用诱导公式和二倍角公式进行化简求值．本题主要考察了同角三角函数关系式和二倍角公式的应用，属于基本知识的考查．14~15.解：由题意得BS=92，∠A=30∘，∠ABS=105∘，∴∠S=45∘．在△ABS中，由正弦定理得ABsin45∘=BSsin30∘，∴AB=92×2212=18．∴船的速度为V=180.5=36海里/小时．故答案为：36．求出∠S，利用正弦定理得出AB，从而得出船的航行速度．本题考查了正弦定理的应用，属于基础题．15\n15~16.解：不妨设a>1(或0<a<1)，作出f(x)的函数图象如图所示：设f(x)=t，由图象可知：当t=1时，方程f(x)=t有3解，当t≠1时，方程f(x)=t有2解，∵函数g(x)=[f(x)]2+bf(x)+c有三个零点，∴关于t的方程t2+bt+c=0有且只有一解t=1，∴f(x)=1，∴x1，x2，x3是f(x)=1的三个解，不妨设x1<x2<x3，则x2=1，令loga|x-1|-1=1得x=1±a2，∴x1=1-a2，x3=1+a2．∴x1x2+x2x3+x1x3=1+a2+1-a2+1-a4=3-a4．故答案为：3-a4．设f(x)=t，根据f(x)的函数图象得出方程f(x)=t的根的个数，从而得出f(x)=1，故而可求出f(x)=1的三个解，得出答案．本题主要考查了根的存在性及根的个数判断，考查学生分析解决问题的能力，确定只有当f(x)=1时，它有三个根是关键．16~17.(1)由已知利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f(x)=sin(2ωx-π3)，设T为f(x)的最小值周期，由题意得(T2)2+[2f(x)max]2=π2+4，结合f(x)max=1，可求T的值，利用周期公式可求ω的值．(2)由题意可求f(x+φ)=sin(x+φ-π3)是奇函数，则sin(φ-π3)=0，结合0<φ<π2，可求φ，进而可求函数g(x)的解析式，利用余弦函数的图象和性质可求其单调递减区间，结合范围x∈[0，2π]，即可得解．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，周期公式，余弦函数的图象和性质，由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．17~18.(1)由条件利用正弦定理可得20a⋅BC+15b⋅CA+12c⋅AB=0，化简可得可得15b-20a=0，且12c-20a=0，求得c2-b2=a2，故△ABC为直角三角形．(2)以CA所在边为x轴建立直角坐标系，得内切圆方程为(x-1)2+(y-1)2=1，设P坐标为(x，y)，化简要求的式子为28-2x，根据0≤x≤2，求得要求式子的值．本题主要考查两个向量的数量积的运算，正弦定理的应用，属于中档题．18~19.如果“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p与q一真一假，进而可得m的取值范围．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，函数恒成立问题，函数的最值，难度中档．15\n19~20.(Ⅰ)由已知，得an-an-1=n(n≥2，n∈N*)，利用累加法求通项公式(Ⅱ)bn=1an=2n(n+1)=2(1n-1n+1)，利用裂项求和法求数列{bn}的前n项和Sn本题考查累加法，裂项法在数列计算中的应用，考查计算能力．20~21.(1)分别计算潜入水底用时、用氧量；水底作业时用氧量；返回水面用时、用氧量，即可得到总用氧量的函数；(2)利用基本不等式可得v=1032，时取等号，再结合c≤v≤15(c>0)，即可求得确定下潜速度v，使总的用氧量最少．本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查导数知识，考查分类讨论的数学思想．21~22.求出原函数的导函数，设出切点坐标，写出过切点的切线方程，代入点P的坐标求解切点横坐标，代回切线方程得答案．本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，解答的关键在于区分给出的定点是否为切点，是中档题．15
