2022-2022学年高二上学期期中考试数学试题（文科）注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在△ABC中，b=2，A=π3，B=π4，则a的值为（）A.3B.6C.23D.622.在等比数列{an}中，a1=1，q=12，an=132，则n=（）A.5B.6C.7D.83.不等式x-1x2的解集为（ ）A.[-1，0）B.[-1，+∞）C.（-∞，-1]D.（-∞，-1]∪（0，+∞）4.设a＞0，b＞0，若a+b=1，则1a+1b的最小值为（）A.4B.8C.1D.145.△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c且b2+c2-a2+bc=0，则asin(30°-C)b-c等于（）A.12B.22C.32D.6+246.已知命题p：1∈{x|（x+2）（x-3）＜0}，命题q：∅={0}，则下面判断正确的是（）A.p假q真B.“p∨q”为真C.“p∧q”为真D.“￢q”为假7.给出下列说法：①终边相同的角同一三角函数值相等；②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cosθ＜0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确说法的个数是（）A.1B.2C.3D.48.设x，y满足2x+y≥4x-y≥-1x-2y≤2，则z=x+y（）A.有最小值2，最大值3B.有最小值2，无最大值C.有最大值3，无最小值D.既无最小值，也无最大值9.已知等比数列{an}中，a5a7=6，a2+a10=5，则a18a10等于（）A.-23或-32B.23C.32D.23或329\n1.不等式x-1x≥2的解集为（）A.[-1，0）B.[-1，+∞）C.（-∞，-1]D.（-∞，-1]∪（0，+∞）2.设A={x|2x2-px+q=0}，B={x|6x2+（p+2）x+5+q=0}，若A∩B={12}，则A∪B等于（）A.{12，13，-4}B.{12，-4}C.{12，13}D.{12}3.设a＞b＞0，则a2+1ab+1a(a-b)的最小值是（）A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）4.已知△ABC中，a=2，∠A=60°，则△ABC的外接圆直径为______．5.an=2n-1，Sn=______．6.汽车以每小时50km的速度向东行驶，在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶1.2小时后，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时汽车与灯塔的距离为______km．7.已知两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别记为Sn，Tn，SnTn=7n+1n+3，则a2+a5+a17+a22b8+b10+b12+b16=______，a5b5=______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）8.△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC+ccosB=2acosB．（1）求角B的大小；（2）若b=13，a+c=4，求△ABC的面积．9.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn•Sn-1=0（n≥2），a1=12．（1）求证：{1Sn}是等差数列；（2）求an的表达式．10.设命题p：∃x∈R，x2-2（m-3）x+1=0，命题q：∀x∈R，x2-2（m+5）x+3m+19≠0（1）若p∨q为真命题，且p∧q为假命题，求实数m的取值范围9\n（2）若p∧q为假命题，求实数m的取值范围．1.设0≤α≤π，不等式8x2-（8sinα）x+cos2α≥0对任意x∈R恒成立，求α的取值范围．2.在△ABC中，设ac=3-1，tanBtanC=2a-cc，求角A，B，C．3.已知等差数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n+1（2n+1），求数列{an}的通项公式．9\n答案和解析【答案】1.B 2.B 3.A 4.A 5.A 6.B 7.C 8.B 9.D 10.A 11.A 12.D 13.43314.n215.30216.315；16317.解：（1）∵bcosC+ccosB=2acosB．∴由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosBsinA=2sinAcosB，∵sinA＞0，∴cosB=12，∵0＜B＜π，∴B=π3；（2）∵b=13，a+c=4，∴b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=（a+c）2-3ac即13=16-3ac，解得ac=1，∴S=12acsinB=34．18.（1）证明：∵-an=2SnSn-1，∴-Sn+Sn-1=2SnSn-1（n≥2），Sn≠0（n=1，2，3）．∴1Sn-1Sn-1=2．又1S1=1a1=2，∴{1Sn}是以2为首项，2为公差的等差数列．（2）解：由（1），1Sn=2+（n-1）•2=2n，∴Sn=12n．当n≥2时，an=Sn-Sn-1=12n-12(n-1)=-12n(n-1)〔或n≥2时，an=-2SnSn-1=-12n(n-1)〕；当n=1时，S1=a1=12．∴an=12(n=1)-12n(n-1)(n≥2)19.解：若命题p：∃x∈R，x2-2（m-3）x+1=0为真命题，则△=4（m-3）2-4≥0，解得：m∈（-∞，2]∪[4，+∞）；若命题q：∀x∈R，x2-2（m+5）x+3m+19≠0则△=4（m+5）2-4（3m+19）＜0，解得：m∈（-6，-1），（1）若p∨q为真命题，且p∧q为假命题，则命题p，q一真一假，当p真q假时，m∈（-∞，2]∪[4，+∞），且m∈（-∞，-6]∪[-1，+∞）9\n即m∈（-∞，-6]∪[-1，2]∪[4，+∞），当p假q真时，m∈（2，4），且m∈（-6，-1），此时不存在满足条件的m值；综上可得：m∈（-∞，-6]∪[-1，2]∪[4，+∞）…（6分）（2）若p∧q为假命题，则命题p，q至少有一个假命题，若命题p，q全为假，则m∈（2，4），且m∈（-∞，-6]∪[-1，+∞）即m∈（2，4），结合（1）的结论可得：此时m∈（-∞，-6]∪[-1，+∞）…（9分）20.解：由题意：不等式8x2-（8sinα）x+cos2α≥0对任意x∈R恒成立，由二次函数的性质可得：△≤0，即：（8sinα）2-4×8×cos2α≤0整理得：4sin2α≤1，∴-12≤sinα≤12∵0≤α≤π，∴0≤α≤π6或5π6≤α≤π．所以α的取值范围是[0，π6]∪[5π6，π]．21.（本题满分为14分）解：∵由tanBtanC=2a-cc，得：sinBcosCsinCcosB=2sinAsinC-1，可得：sinAsinCcosB=2sinAsinC，…（3分）∴整理解得：cosB=12，可得：B=π3，可得：A+C=2π3．…（6分）∵sinAsinC+1=3，可得：2sinA+C2cosA-C2sinC=3，解得：cosA-C2=sinC=cos(π2-C)，∴A-C2=π2-C或A-C2=C-π2．…（12分）∴A+C=π，或3C-A=π，∴当A+C=π时，由于A+C=2π3，矛盾，∴可得：3C-A=π，结合A+C=2π3，可得：C=5π12，A=π4…（14分）22.解：∵an+1=2an+2n+1（2n+1），两边同除2n+1可得：an+12n+1-an2n=2n+1，∴an2n=(an2n-an-12n-1)+(an-12n-1-an-22n-2)+…+(a222-a12)+a12=（2n-1）+（2n-3）+…+3+12=(n-1)(2n-1+3)2+12=n2-12．∴an=n2•2n-2n-1．【解析】9\n1.解：∵b=2，A=π3，B=π4，∴由正弦定理可得：a=bsinAsinB=2×3222=6．故选：B．由已知利用正弦定理即可解得a的值．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．2.解：an=132=1×(12)n-1，解得n=6．故选：B．利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.解：x-1x≥2⇔x-1x-20⇔--1x≥0⇔x+1x≤0⇔1≤x＜0故选A本为基的分式等，利用穿根法解即可，也可特值法．本题考查单分式等式解，属基本题．在题中，要意等号．4.解：∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴1a+1b=（a+b）(1a+1b)=2+ba+ab≥2+2ba⋅ab=4，当且仅当a=b=12时取等号．故选A．利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．熟练掌握“乘1法”和基本不等式的性质是解题的关键．5.解：∵△ABC中，b2+c2=a2-bc∴根据余弦定理，得cosA=b2+c2-a22bc=-12∵A∈（0，π），∴A=2π3由正弦定理，得asinA=bsinB=csinC=2R，∴asin(30°-C)b-c=2RsinAsin(30°-C)2R(sinB-sinC)=32(12cosC-32sinC)sin(π3-C)-sinC∵sin（π3-C）-sinC=32cosC-12sinC-sinC=3（12cosC-32sinC）∴原式=32(12cosC-32sinC)3(12cosC-32sinC)=12故选：A根据题中等式，结合余弦定理算出A=π3，再由正弦定理将asin(30°-C)b-c化简为sinAsin(30°-C)sinB-sinC．由sinB=sin（A+C）和A=π3，将分子、分母展开化简、约去公因式，即可得到asin(30°-C)b-c的值．本题给出三角形边之间的平方关系，求角A的大小并求关于边与角的三角函数关系式的值，着重考查了两角和与差的正弦公式和用正、余弦定理解三角形等知识，属于中档题．6.解：解（x+2）（x-3）＜0得：x∈（-2，3）；故命题p：1∈{x|（x+2）（x-3）＜0}为真命题；9\n命题q：∅={0}为假命题；故p假q真，错误；“p∨q”为真，正确；“p∧q”为真，错误；“￢q”为真，错误；故选：B解二次不等式，可判断命题p的真假，根据空集的定义，可判断命题q的真假，最后结合复合命题真假判断的真值表，可得答案．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，二次不等式的解法，集合的相关概念，属于基础题．7.解：①由任意角的三角函数的定义知，终边相同的角的三角函数值相等，正确．②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B，故正确；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关，正确，④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同或终边关于y轴对称，故不正确．⑤若cosα＜0，则α是第二或第三象限角或α的终边落在x轴的非正半轴上，故不正确．其中正确的个数为3个，故选：C．由任意角的三角函数的定义，三角函数值与象限角的关系，即可得出结论．本题综合考查了象限角与象限界角、弧度制与角度制、三角函数值与象限角的关系等基础知识，属于基础题．8.解析：如图作出不等式组表示2x+y≥4x-y≥-1x-2y≤2的可行域，如下图所示：由于z=x+y的斜率大于2x+y=4的斜率，因此当z=x+y过点（2，0）时，z有最小值，但z没有最大值．故选B本题考查的知识点简单线性规划问题，我们先在坐标系中画出满足约束条件2x+y=4x-y≥-1x-2y≤2对应的平面区域，根据目标函数z=x+y及直线2x+y=4的斜率的关系，即可得到结论．目判断标函数的有元最优解，处理方法一般是：①将目标函数的解析式进行变形，化成斜截式②分析Z与截距的关系，是符号相同，还是相反③根据分析结果，结合图形做出结论④根据目标函数斜率与边界线斜率之间的关系分析，即可得到答案．9.解：∵a2a10=6，a2+a10=5，∴a2和a10是方程x2-5x+6=0的两根，求得a2=2，a10=3或a2=3，a10=2∴q8=a10a2=32或239\n∴a18a10=q8=32或23故选D首先根据等比数列的性质得出a5a7=a2a10根据题设可推断a2和a10是方程x2-5x+6=0的两根，求得a2和a10，进而求得q8代入a18a10答案可得．本题主要考查了等比数列的性质．若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则aman=apaq．10.解：x-1x≥2⇔x-1x-2≥0⇔-x-1x≥0⇔x+1x≤0⇔-1≤x＜0故选A本题为基本的分式不等式，利用穿根法解决即可，也可用特值法．本题考查简单的分式不等式求解，属基本题．在解题中，要注意等号．11.解：∵A∩B={12}∴12∈A，∴2（12）2-p（12）+q=0…①又12∈B∴6（12）2+（p+2）12+5+q=0…②解①②得p=-7，q=-4；∴A={12，-4}；B={12，13}∴A∪B={-4，12，13}．故选A．根据A∩B={12}，得到12∈A，B；即12是方程2x2-ppx+q=0，6x2+（p+2）x+5+q=0的根，代入即可求得p，q的值，从而求得集合A，集合B，进而求得A∪B．此题是中档题．考查集合的交集的定义和一元二次方程的解法，体现了方程的思想和转化的思想，同时考查了运算能力．12.解：∵a＞b＞0，∴a-b＞0，∴a2+1ab+1a(a-b)=a2-ab+ab+1ab+1a(a-b)=ab+1ab+a（a-b）+1a(a-b)≥2ab⋅1ab+2a(a-b)⋅1a(a-b)=4，当且仅当ab=1，a（a-b）=1即a=2，b=22时等号成立，故选：D．a2+1ab+1a(a-b)=ab+1ab+a2-ab+1a(a-b)，利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了通过变形利用基本不等式的性质的方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.解：在△ABC中，∵a=2，∠A=60°，∴△ABC的外接圆的直径等于2R=asinA=232=433故答案为：433．9\n根据已知及正弦定理利用2R=asinA，即可求得三角形外接圆的直径．本题主要考查了正弦定理的应用．作为正弦定理的变形公式也应熟练掌握，以便做题时方便使用，属于基础题．14.解：an=2n-1，可得an+1-an=2（n+1）-1-（2n-1）=2，所以数列是等差数列，公差为2，首项为：1，Sn=n•1+n(n-1)2×2=n2．故答案为：n2．判断数列是等差数列，然后求解数列的Sn．本题考查等差数列的判定，等差数列求和，考查计算能力．15.解：如图，依题意有AB=50×1.2=60，∠MAB=30°，∠AMB=45°，在△AMB中，由正弦定理得60sin45°=BMsin30°，解得BM=302（km），故答案为：302．先根据船的速度和时间求得AB的长，进而在△AMB中，根据正弦定理利用∠MAB=30°，∠AMB=45°和AB的长度，求得BM．本题主要考查了解三角形的实际应用．常需利用正弦定理或余弦定理，根据已知的边或角求得问题的答案．16.解：两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别记为Sn，Tn，SnTn=7n+1n+3，a2+a5+a17+a22b8+b10+b12+b16=a11+a12b11+b12=S22T22=7×22+122+3=315．a5b5=9a59b5=S9T9=7×9+19+3=163．故答案为：315，163．利用等差数列的性质，S2n-1=（2n-1）an，化简所求的表达式，代入已知的等式，求解即可．此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，熟练掌握性质及求和公式是解本题的关键．17.（1）利用正弦定理结合两角和差的正弦公式进行化简即可求角B的大小；（2）利用余弦定理求出ac的值，代入三角形的面积公式即可．本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简是解决本题的关键．18.（1）本题关键是将an=Sn-Sn-1代入化简，再根据等差数列的定义进行判定即可．（2）先求出Sn，利用Sn求an，必须分类讨论an=a1n=1Sn-Sn-1n≥2，求解可得．本题主要考查了等差数列的证明，以及已知Sn求an，注意分类讨论，属于基础题．19.分别求出命题p，q为真时实数m的取值范围．（1）若p∨q为真命题，且p∧q为假命题，则命题p，q一真一假，进而可得满足条件的a的取值范围．（2）若p∧q为假命题，则命题p，q至少有一个假命题，进而可得满足条件的a的取值范围．9\n本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，方程根的个数及判断等知识点，难度中档．20.将不等式看成二次函数恒成立问题，利用二次函数≥0对一切x∈R恒成立，可得△≤0，转化成三角函数问题，即可求解实数α的取值范围．本题主要考查了函数恒成立问题的求解，利用了二次函数数的性质转化成三角函数的问题，属于中档题．21.利用同角三角函数基本关系式化简已知等式，整理可得cosB=12，结合B的范围可求B的值，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cosA-C2=cos（π2-C），利用余弦函数的性质即可得解3C-A=π，进而可求C，A的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．22.an+1=2an+2n+1（2n+1），两边同除2n+1可得：an+12n+1-an2n=2n+1，利用“累加求和”方法、等差数列的求和公式即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、“累加求和方法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9
