17-18学年上学期高二年级数学学科期中考试试卷理科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。每题仅有一个正确答案。1．在△ABC中，若acosB=bcosA，则该三角形一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形2．不等式的解集为，则不等式的解集为（）A.或B.C.D.或3．已知椭圆过点和点，则此椭圆的标准方程是（ ）A.+x2=1B.+y2=1或x2+=1C.+y2=1D.以上均不正确4．已知，则有（）A.最大值B.最小值C.最大值2D.最小值25．三角形中，，，以为直角顶点向外作等腰直角三角形，当变化时，线段的长度最大值为（）A.B.C.D.6．等差数列和的前项和分别为与，对一切自然数，都有，则A.B.C.D.7．直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到直线的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为（）A.B.C.D.8．-11-我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为，现将该金杖截成长度相等的10段，记第段的重量为，且，若，则（）A.4B.5C.6D.79．已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若cosB＝，b＝2，sinC＝2sinA，则△ABC的面积为()．A.B.C.D.10．已知数列满足(n∈N*)，且对任意n∈N*都有，则t的取值范围为（）A.（，+∞）B.[，+∞）C.（，+∞）D.[，+∞）11．已知实数满足若的最大值为10，则（）A.1B.2C.3D.412．在中，,给出满足的条件，就能得到动点的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：条件①周长为②面积为③中，方程-11-则满足条件①，②，③的轨迹方程依次为（）A.B.C.D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．若方程表示椭圆，则m的取值范围是_____．14．已知△ABC的周长为，面积为，且，则角C的值为______．15．在等比数列中，，，则__________.16．不等式的解集为__________．三、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）在中，角的对边分别为，已知.（1）求证：；（2）若，的面积为，求.18．（12分）已知等比数列的前项和，等差数列的前5项和为30，且.（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和.19．（12分）某人上午7时乘船出发，以匀速海里/小时从港前往相距50海里的港，然后乘汽车以匀速千米/小时()自港前往相距千米的市，计划当天下午4到9时到达市.设乘船和汽车的所要的时间分别为、小时，如果所需要的经费(单位：元)-11-(1)试用含有、的代数式表示；(2)要使得所需经费最少，求和的值，并求出此时的费用.20．（12分）设数列{}的前项和为.已知=4，=2+1，.（Ⅰ）求通项公式；（Ⅱ）求数列{||}的前项和.21．（12分）已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）直线过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，若的面积为，求直线的方程.22．（12分）如图，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为设S的眼睛距地面的距离米．（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕其中点O在S与立柱所在的平面内旋转．-11-摄影者有一视角范围为的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．-11-参考答案1．A2．A3．A4．D5．C6．B7．A8．C9．B10．D11．B12．B13．14．15．117．(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：（1）由正弦定理边化角统一角，得，再用正弦定理角化边即证。（2）由角B的面积公式可得.结合（1）中和解B的余弦定理，三个方程三个未知数，可解得b.试题解析：（1）∵.∴由正弦定理可得：，可得：，∴.∴.（2）∵，的面积为，∴-11-∴.∵由余弦定理可得：.∵，∴可得：，解得：.【点睛】在三角形问题中，若给出的条件式中既有边又有角，一般先依据正(余)弦定理化边为角或化角为边，再按转化后的表达式特点选择变形解答方法．18．（1），（2）【解析】试题分析：（1）根据和项与通项关系解得根据待定系数法解得等差数列公差与首项，代人即得的通项公式；（2）根据错位相减法求数列的前项和.注意相减时项的符号变号，求和时项的个数，最后不要忘记除以试题解析：解：（Ⅰ）当时，；当时，.综上所述，.设数列的公差为，故解得，，故.（Ⅱ）依题意，，∴，①∴，②①—②得，，∴.点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.-11-19．(1)；（2）.【解析】试题分析：（1）分析题意，先用表示，先用表示，代入，化简即可；（2）求出满足的约束条件，由约束条件画出可行域，要求走得最经济，即求可行域中的最优解，将目标函数看成是一条直线，分析目标函数与直线截距的关系，进而求出最优.试题解析：(1)，得，得所以(其中)(2)其中，令目标函数, 可行域的端点分别为则当时，所以(元),此时-11-答：当时，所需要的费用最少，为元.【方法点晴】本题主要考查线性规划的应用及求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.20．（1）；（2）.【解析】试题分析：本题主要考查等差、等比数列的基础知识，同时考查数列基本思想方法，以及推理论证能力.试题解析：（Ⅰ）由题意得，则又当时，由，得.所以，数列的通项公式为.（Ⅱ）设，，.当时，由于，故.设数列的前项和为，则.当时，，所以，【考点】等差、等比数列的基础知识.【方法点睛】数列求和的常用方法：（1）错位相减法：形如数列的求和，其中-11-是等差数列，是等比数列；（2）裂项法：形如数列或的求和，其中，是关于的一次函数；（3）分组法：数列的通项公式可分解为几个容易求和的部分．21．（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据椭圆几何意义得，再根据离心率为得（2）设直线点斜式方程，与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理以及弦长公式求底边AB长，再根据点到直线距离公式得高，最后根据三角形面积公式列方程，解出直线斜率，注意验证斜率不存在时是否满足题意试题解析：解：（Ⅰ）设椭圆的方程为：，由已知：得：，，所以，椭圆的方程为：.（Ⅱ）由已知直线过左焦点．当直线与轴垂直时，，，此时，则，不满足条件．当直线与轴不垂直时，设直线的方程为：由 得所以，，-11-而，由已知得，，所以，则，所以，所以直线的方程为：或．22．（1）2米；（2）摄影者可以将彩杆全部摄入画面【解析】（1）作SC垂直OB于C，则∠CSB＝30°，∠ASB＝60°．又SA＝，故在Rt△SAB中，可求得BA＝3，即摄影者到立柱的水平距离为3米．由SC＝3，∠CSO＝30°，在Rt△SCO中，可求得OC＝．因为BC＝SA＝，故OB＝2，即立柱高为2米．6分（2）连结SM，SN，设在△SON和△SOM中，，得a2＋b2＝26．cos∠MSN＝又∠MSN∈（0，π），则∠MSN＜．故摄影者可以将彩杆全部摄入画面．15分【命题意图】本题考查俯角、仰角、视角等基本概念，余弦定理、解三角形等基础知识，意在考查学生解决实际问题能力及基本的运算能力．-11-
