2022～2022学年封丘一中高二上学期期末考试数学试题(理科)一、选择题（每小题5分，共60分）1．以下说法错误的是（）A．命题“若x2－3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x+2≠0B．“x=1”是“x2－3x+2=0”的充分不必要条件C．若pq为假命题，则p、q均为假命题D．若命题p：xR，使得x+x+1＜0，则：，则x2+x+1≥02．在△ABC中，三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，若a2+b2=ab+c2，则角C为（）A．30°B．45°C．150°D．135°3．不等式ax2－2x+1＜0的解集非空的一个必要不充分条件是（）A．a＜1B．a＜0C．0＜a＜1D．a≤14．等差数列公差不为0，首项a1=1,a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项和为（）A．90B．100C．145D．1905．如图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=AA1=2，∠ACB=90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，当二面角C1－AA1－B为45°时，直线EF和BC1所成的角为（）A．45°B．60°C．90°D．120°6．△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos2A=a，则=（）A．2B．2C．D．7．已知m是△ABC内一点，且·=2，∠BAC=30°，若△MBC、△MCA、△MAB的面积分别为、x、y，则的最小值为（）A．20B．19C．16D．188．等差数列中，S15＞0，S16＜0，则使an＞0成立的n的最大值为（）A．6B．7C．8D．99．若直线不平行于平面，且，则（）A．内的所有直线与异面B．内不存在与平行的直线C．内存在唯一的直线与平行D．内的直线与都相交-8-\n10．在△ABC中，若a=2bcosC，则△ABC是（）A．锐角三角形B．等腰三角形C．钝角三解形D．直角三角形11．已知点M是x2=4y上一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：（x－1）2+(y－5)2=1上，则+的最小值为（）A．3B．5C．8D．1012．设椭圆C：=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°,则C的离心率为（）．A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知ABCD为正方形，点P为平面ABCD外一点，平面PCD⊥平面ABCD，PD=AD=2=PC，则点C到平面PAB的距离为.14．已知数列为等比数列，且a1a13+2a=4，则tan(a2a12)=.15．在直角三角形ABC中，AB=4，AC=2，M是斜边BC的中点，则向量在向量方向上的投影是.16．过双曲线=1（a＞0）右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是.三、解答题（共70分）17．（10分）已知不等式ax2－3x+6＞4的解集为x＜1或x＞.(1)求a、b；(2)解不等式ax2－(ac+b)x+bc＜0(cR)18．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cosC+(cosA－sinA)cosB=0.(1)求角B的大小；(2)若a+c=1，求b的取值范围.19．（12分）已知各项均为正数的数列，满足a1=1，a－a=2(nN*)(1)求数列的通项公式；-8-\n(2)求数列的前n项和.20.(12分)已知p:＞2，q:＞0，r：(x－a)(x―a―1)＜0.(1)p是q的什么条件？(2)若r是p的必要非充分条件，求实数a的取值范围.21．（12分）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠DAB=135°，BC=2，SB=SC=AB=2，F为线段SB的中点.(1)求证：SD∥平面CFA；(2)求平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值.22.(12分)已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，定点M（2，0），椭圆短轴的端点是B1B2，且MB1⊥MB2.(1)求椭圆C的方程；(2)设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A、B两点，试问x轴上是否存在异于M的定点p，使PM平分∠APB？若存在，求出点p的坐标，若不存在，说明理由.-8-\n-8-\n高二期末数学答案一、选择题1—5CBDBC6—10DDCBB11—12BD二、填空题二、1314.15－16（，）三、解答题（70分）17．解（1）原不等式可化为ax2－3x+2＞0由题意知x=1是方程ax2－3x+2=0的根∴a=1∴x2－3x+2＞0∴x＜1或x＞2故b=2…………5分（2）由(1)可知原不等式可化为x－(c+2)x+2c＜0(x－c)(x－2)＜0①当c＞2，2＜x＜c②当c=2，x③当c＜2，c＜x＜2综上，当c＜2时，原不等式的解集为c＜x＜，当c=2时，原不等式解集为，当c＞2时，原不等式解集为2＜x＜.18．解：(1)∵cosC+(cosA－sinA)cosB=0∴－(cosAcosB－sinAsinB)+cosAcosB－sinAsinB=0∴sinAsinB－sinAcosB=0∵sinA≠0∴tanB=∴0＜B＜∵B=……………………6分(2)b2=a2+c2-2acosB=(a+c)2-2ac-2ac·=1-3ac≥1-3()2=∴≤b2＜1∴≤b＜1………………12分19、(1)∵a1=1a－a=2(n)∴a=1+(n－1)·2=2n-1-8-\n∵a＞0∴a=(n)…………5分(2)由(1)知a=，∴=∴S=+++…+①则S=+++…+②①－②得，S=+++…+－=+2[]－=－∴S=3-(n)……………………12分20．(1)p:＞2x＜或x＞2q:＞0＞0x＞2或x＜-1∴p:≤x≤2q:－1≤x≤2∵pq，但qp∴p是q的充分不必要条件(2)r:(x-a)(x-a-1)＜0a＜x＜a+1∴r:x≥a+1或x≤a∵r是p的必要不充分条件∴a≥2或a+1≤即a≥2或a≤--8-\n故a的取值范围是（－，－][2，+]21、(1)连结BDAC=E连结EF∵ABCD是平行四边形∴BE=ED又F是SB的中点∴EF∥SD又EF面CFA，SD面CFA∴SD∥面CFA…………6分(2)取BC中点O，连OS、OA∵SB=SC∴SO⊥BC又面SBC⊥面ABCD∴SO⊥面ABCD在△ABC中，AB=2∠ABC=45°BC=2由余弦定理，得AC=2∴∠BAC=90°又AB=AC∴AO⊥BC建立如图所示坐标系.则A(，0，0)B（0，－，0）S（0，0，）C(0,,0)D(,2,0)设面SAB的法向量为=（x,y,z）由·=0－x－y=0得·=0－y－z=0取z=－1，得=(－1,1,－1)设面SCD的法向量为=(x，y，z)同理可得=(－1,1,1)∴cos＜，＞==故面SCD与面SAB所成锐二面角的余弦值为22、解：(1)由e==1－=的-8-\n又∵△MBB是等腰直角三角形，∴b=2,a=3故椭圆C的方程为=1…………5分(2)设AB的方程为x=my+2代入=1得(4m+9)y+16my－20=0∴y+y=yy=…………8分若PM平分∠APB，则直线PA、PB倾斜角互补∴KpA+KpB=0设p(n，0)则有=0…………10分把x=my+2,x=my+2代入上式，得2myy+(2－n)(y+y)=0∴2m·+(2-n)即（－2n+9）m=0由于上式对任意实数m都成立，∴n=综上，存在定点p(，0)，使pM平分∠APB…………12分-8-
