河北省辛集中学2022届高三数学9月月考试题一．选择题（共12小题。每小题5分，共60分。每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。）1．设集合M={x|x2﹣x＞0}，N={x|＜1}，则（ ）A．M∩N=∅B．M∪N=∅C．M=ND．M∪N=R2．已知等比数列{an}满足a1+a2=6，a4+a5=48，则数列{an}前8项的和Sn=（ ）A．510B．126C．256D．5123．设a，b，c均为正数，且2a=loga，（）b=logb，（）c=log2c，则（ ）A．c＜a＜bB．c＜b＜aC．a＜b＜cD．b＜a＜c4．已知点A（0，﹣1），B（2，0），O为坐标原点，点P在圆上．若，则λ+μ的最小值为（ ）A．﹣3B．﹣1C．1D．35.设的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（ ）A．B．C．D．7．已知x＞0，y＞0，2x+3xy=6，则2x+3y的最小值是（ ）A．3B．4﹣2C．D．8．点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A﹣B﹣C﹣M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y=f（x）的图象的形状大致是图中的（ ）8A．B．C．D．9．设函数，若函数y=f（x）+a（a∈R）恰有三个零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则x1+2x2+x3的值是（ ）A．B．C．D．π10．已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且+=，则b的值为（ ）A．B．2C．D．11．已知各项不为0的等差数列{an}满足a4﹣2a+3a8=0，数列{bn}是等比数列，且b7=a7，则b3b7b11等于（ ）A．1B．2C．4D．812．若对于任意的正实数x，y都有成立，则实数m的取值范围为（ ）A．B．C．D．二．填空题(共4小题，每小题5分，共20分。)13．复数_______．14．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为 ．15．设点O在△ABC的内部，点D，E分别为边AC，BC的中点，且|3+2|=1，则= ．16.已知数列{an}中，a1=2，n（an+1﹣an）=an+1，n∈N*，若对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈8N*，不等式＜2t2+at﹣1恒成立，则实数t的取值范围为_________三、解答题：（本大题共6个小题，共70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．(10分)平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy有相同的长度单位，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ，曲线C3的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程和C3的直角坐标方程；（2）设C3分别交C1、C2于点P、Q，求△C1PQ的面积．18．（12分）已知向量，．（1）若角α的终边过点（3，4），求•的值；（2）若∥，求锐角α的大小．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知c=．（1）若C=2B，求cosB的值；（2）若=，求cos（B）的值．20．（12分）已知等比数列{an}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1﹣bn）an}的前n项和为2n2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．21．（12分）已知函数f（x）=a（x﹣）﹣lnx，其中a∈R．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x≥1，都有f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．22．（14分）设函数f（x）=x+axlnx（a∈R）．8（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）的极大值点为x=1，证明：f（x）≤e﹣x+x2．答案CACBCBBDBADD813.114.-315.216.（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）17.解：（1）因为曲线C1的参数方程为（t为参数），所以曲线C1的普通方程：（x﹣2）2+y2=4，即x2+y2﹣4x=0．所以C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．因为曲线C3的极坐标方程为．所以曲线C3的直角坐标方程：．…（5分）（2）依题意，设点P、Q的极坐标分别为．将代入ρ=4cosθ，得，将代入ρ=2sinθ，得ρ2=1，所以，依题意得，点C1到曲线的距离为．所以．…（10分）18.解：（1）角α的终边过点（3，4），∴r==5，∴sinα==，cosα==；∴•=sinα+sin（α+）=sinα+sinαcos+cosαsin=×+×+×=；（2）若∥，则，即，∴sin2α+sinαcosα=1，∴sinαcosα=1﹣sin2α=cos2α，对锐角α有cosα≠0，∴tanα=1，8∴锐角．19.解：（1）因为c=，则由正弦定理，得sinC=sinB．…（2分）又C=2B，所以sin2B=sinB，即2sinBcosB=sinB．…（4分）又B是△ABC的内角，所以sinB＞0，故cosB=．…（6分）（2）因为=，所以cbcosA=bacosC，则由余弦定理，得b2+c2﹣a2=b2+a2﹣c2，得a=c．…（8分）从而cosB==，…（10分）又0＜B＜π，所以sinB==．从而cos（B+）=cosBcos﹣sinBsin=．…（12分）20.解：（Ⅰ）等比数列{an}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项，可得2a4+4=a3+a5=28﹣a4，解得a4=8，由+8+8q=28，可得q=2（舍去），则q的值为2；（Ⅱ）设cn=（bn+1﹣bn）an=（bn+1﹣bn）2n﹣1，可得n=1时，c1=2+1=3，n≥2时，可得cn=2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）=4n﹣1，上式对n=1也成立，则（bn+1﹣bn）an=4n﹣1，即有bn+1﹣bn=（4n﹣1）•（）n﹣1，可得bn=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（bn﹣bn﹣1）=1+3•（）0+7•（）1+…+（4n﹣5）•（）n﹣2，bn=+3•（）+7•（）2+…+（4n﹣5）•（）n﹣1，8相减可得bn=+4[（）+（）2+…+（）n﹣2]﹣（4n﹣5）•（）n﹣1=+4•﹣（4n﹣5）•（）n﹣1，化简可得bn=15﹣（4n+3）•（）n﹣2．21.】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x﹣﹣lnx，f（1）=0，所以f′（x）=1+﹣，f′（1）=1，即曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1；（Ⅱ）f（x）=a（x﹣）﹣lnx的导数为f′（x）=，若a≤0，则当x＞1时，x﹣＞0，lnx＞0，可得f（x）＜0，不满足题意；若a＞0，则当△=1﹣4a2≤0，即a≥时，f′（x）≥0恒成立，可得f（x）在[1，+∞）上单调递增，而f（1）=0，所以当x≥1，都有f（x）≥0，满足题意；当△＞0，即0＜a＜时，f′（x）=0，有两个不等实根设为x1，x2，且x1＜x2，则x1x2=1，x1+x2=＞0，即有0＜x1＜1＜x2，当1＜x＜x2时，f′（x）＜0，故f（x）在（1，x2）上单调递减，而f（1）=0，当x∈（1，x2）时，f（x）＜0，不满足题意．综上所述，a≥．22.解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f'（x）=（x+1）lnx+（2a+）x+1，依题意可得，f'（1）=1，2a++1=2，∴f'（x）=（x+1）lnx+（x+1）=（x+1）（lnx+1），令f'（x）=0，即（x+1）（lnx+1）=0，∵x＞0，∴．x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，）时，f′（x）＜0．8∴f（x）的单调递增区间是（，+∞），单调递减区间为（0，）．（2）由（Ⅰ）可知，f（x）=（+x）lnx+x2•f（x）﹣（3+λ）xlnx+，⇔．设h（x）=，只需λ＜h（x）minh'（x）==，（x＞0）令u（x）=x﹣2+lnx，∴u'（x）=1+＞0，可得u（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，∵u（1）=﹣1＜0，u（2）=ln2＞0，∴存在x0∈（1，2），使u（x0）=0，……………………………………………………（9分）当x∈（x0，+∞）时，u（x）＞0，即h'（x）＞0，当x∈（0，x0）时，u（x）＜0，即h'（x）＜0，∴h（x）在x=x0时取最小值，且h（x）min=，又u（x0）=0，∴lnx0=2﹣x0，h（x）min==﹣x0，∵λ＜h（x）min，λ∈Z，x0∈（1，2），∴﹣x0∈（﹣2，﹣1），λ的最大值为﹣2．8
