滦南一中2022-2022学年度高二年级第一学期十月月考理科数学试题一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF，GH交于一点P，则( )A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P一定在直线AC或BD上D．P既不在直线AC上，也不在直线BD上2．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是()A．8πB．6πC．4πD．π3．设P是△ABC所在平面α外一点，H是P在α内的射影，且PA，PB，PC与α所成的角相等，则H是△ABC的( )A．内心B．外心C．垂心D．重心4．如图(1)所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，如图(2)所示，那么，在四面体S－EFG中必有()A．SD⊥△EFG所在平面B．GF⊥△SEF所在平面C．GD⊥△SEF所在平面D．SG⊥△EFG所在平面5.如图，A是平面BCD外一点，E、F、G分别是BD、DC、CA的中点，设过这三点的平面为α，则在图中的6条直线AB、AC、AD、BC、CD、DB中，与平面α平行的直线有( )A．0条B．1条C．2条D．3条6．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为( )A．πR3B．πR3C．πR3D．πR37．如图，若Ω是长方体ABCD－A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是( )7A．EH∥FGB．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱D．Ω是棱台8．将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角B′-AD-C，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是( )A．90°B．60°C．45°D．30°9．已知α、β是两个平面，直线l⊄α，l⊄β，若以①l⊥α；②l∥β；③α⊥β中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有( )A．①③⇒②；①②⇒③B．①③⇒②；②③⇒①C．①②⇒③；②③⇒①D．①③⇒②；①②⇒③；②③⇒①10．矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为( )A．πB．πC．πD．π11．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积(单位：cm2)为( )A．48＋24B．36＋12C．48＋12D．36＋2412．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A．cm3B．cm3C．cm3D．cm3二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．在几何体①圆锥；②正方体；③圆柱；④球；⑤正四面体中，三视图完全一样的是________. 714．用斜二测画法画边长为2的正三角形的直观图时，如果在已知图形中取的x轴和正三角形的一边平行，则这个正三角形的直观图的面积是________.15．直线l与平面α所成角为30°，l∩α＝A，m⊂α，A∉m，则m与l所成角的取值范围是________.16．如图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是________.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)如图所示，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，且满足＝＝，＝＝2．(1)求证：四边形EFGH是梯形；(2)若BD＝a，求梯形EFGH的中位线的长．18．(12分)如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求：(1)三棱锥A′－BC′D的表面积与正方体表面积的比值；(2)三棱锥A′－BC′D的体积．719．(12分)如下图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．(1)求证：AC⊥BC1；(2)求证：AC1∥平面CDB1；(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．20．(12)如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，(1)求三棱锥P－ABC的体积；(2)证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．21．(12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1＝2，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；(2)设(1)中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1－QC1D的体积．22．(12分)如下图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．(1)证明：CD⊥平面PAE；(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．710月月考理科数学答案一.选择题.BCBDCADACCCB二.填空题.13.②④14.15. [30°，90°]16. 36＋128π三.解答题.17．(1)证明 因为＝＝，所以EH∥BD，且EH＝BD．因为＝＝2，所以FG∥BD，且FG＝BD．因而EH∥FG，且EH＝FG，故四边形EFGH是梯形．6分(2)解 因为BD＝a，所以EH＝a，FG＝a，所以梯形EFGH的中位线的长为(EH＋FG)＝a．10分18. (1)∵ABCD－A′B′C′D′是正方体，∴A′B＝A′C′＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝a，∴三棱锥A′－BC′D的表面积为4××a××a＝2a2.而正方体的表面积为6a2，故三棱锥A′－BC′D的表面积与正方体表面积的比值为＝.6分(2)三棱锥A′－ABD，C′－BCD，D－A′D′C′，B－A′B′C′是完全一样的．故V三棱锥A′－BC′D＝V正方体－4V三棱锥A′－ABD＝a3－4××a2×a＝.12分19. (1)证明：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC．又∵C1C⊥AC．∴AC⊥平面BCC1B1.∵BC1⊂平面BCC1B，∴AC⊥BC1.4分(2)证明：设CB1与C1B的交点为E，连接DE，又四边形BCC1B1为正方形．∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1.∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，7∴AC1∥平面CDB1.8分(3)解：∵DE∥AC1，∴∠CED为AC1与B1C所成的角．在△CED中，ED＝AC1＝，CD＝AB＝，CE＝CB1＝2，∴cos∠CED＝＝.∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为.12分20. (1)在△ABC中，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°⇒S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC＝×1×2×sin60°＝.又∵PA⊥面ABC，∴PA是三棱锥P－ABC的高，∴V三棱锥P－ABC＝PA·S△ABC＝×1×＝.5分(2)过点B作BN垂直AC于点N，过N作NM∥PA交PC于M，则⇒⇒⇒AC⊥BM，9分此时M即为所找点，在△ABN中，易知AN＝⇒＝⇒＝⇒＝.12分21.(1)在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行．2分理由如下：由于直线l不在平面A1BC内，l∥BC，故直线l与平面A1BC平行．在△ABC中，∵AB＝AC，D是线段AC的中点，∴AD⊥BC，∴l⊥AD．又∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥l.而AA1∩AD＝A，∴直线l⊥平面ADD1A1.6分(2)过点D作DE⊥AC于点E.∵侧棱AA1⊥底面ABC，∴三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，则易得DE⊥平面AA1C1C．在Rt△ACD中，∵AC＝2，∠CAD＝60°，7∴AD＝AC·cos60°＝1，∴DE＝AD·sin60°＝.∴S△QA1C1＝·A1C1·AA1＝×2×1＝1，∴三棱锥A1－QC1D的体积VA1－QC1D＝VD－QA1C1＝·S△QA1C1·DE＝×1×＝.12分22.(1)证明：如下图所示，连接AC，由AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，得AC＝5.又AD＝5，E是CD的中点，所以CD⊥AE.∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD．而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.5分(2)过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于F，G，连接PF.由(1)CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE.于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG⊥AE.由PA⊥平面ABCD知，∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角．7分由题意，知∠PBA＝∠BPF，因为sin∠PBA＝，sin∠BPF＝，所以PA＝BF.由∠DAB＝∠ABC＝90°知，AD∥BC，又BG∥CD，所以四边形BCDG是平行四边形，故GD＝BC＝3.于是AG＝2.在Rt△BAG中，AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，所以BG＝＝2，BF＝＝＝.于是PA＝BF＝.又梯形ABCD的面积为S＝×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P－ABCD的体积为V＝×S×PA＝×16×＝.12分7
