2022届高三上学期期中考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，为虚数单位，且，则（）A．－1B．1C．－2D．22.设集合，，则中整数元素的个数为（）A．3B．4C．5D．63.已知向量，，则是“与反向”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还升，升，升，1斗为10升，则下列判断正确的是（）A．，，依次成公比为2的等比数列，且B．，，依次成公比为2的等比数列，且C.，，依次成公比为的等比数列，且D．，，依次成公比为的等比数列，且5.若函数在（0，1）上递减，则取值范围是（）A．B．C.D．9\n6.某几何的三视图如图所示，其中每个视图中的四个小正方形的边长都相等，若该几何体的体积为，则该几何体的表面积为（）A．36B．42C.48D．647.定义在上的奇函数的一个零点所在区间为（）A．B．C.D．8.设变量，满足约束条件，则的取值范围为（）A．[2，6]B．（－∞，10]C.[2，10]D．（－∞，6]9.在四棱锥中，已知异面直线与所成的角为，给出下面三个命题，:若，则此四棱锥的侧面积为；:若，分别为，的中点，则//平面；：若，，，，都在球的表面上，则球的表面积是四边形面积的倍.在下列明天中，为真命题的是（）A．B．C.D．10.设，，定义运算：，则（）A．B．C.D．11.设为数列的前项和，，且.记为数列的前项和，若，，则的最小值为（）A．B．C.D．19\n12.当时，恒成立，则的取值范围为（）A．B．C.D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设向量，满足，则．14.函数的值域为．15.若函数的图象相邻的两个对称中心为，，将的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到的图象，则．16.如图，在四棱锥中，底面，，底面为矩形，为线段的中点，，，，与底面所成角为，则四棱锥与三棱锥的公共部分的体积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，角,,的对边分别为，，，已知，.（1）求；（2）求.18.设为数列的前项和，，数列满足，.（1）求及；（2）记表示的个位数字，如<6174>=4，求数列的前20项和.19.已知向量，，函数.9\n（1）若，，求；（2）求在上的值域；（3）将的图象向左平移个单位得到的图象，设，判断的图象是否关于直线对称，请说明理由.20.如图,在三棱锥中,,底面，，，，且.（1）若为上一点，且，证明：平面平面.（2）求二面角的余弦值.21.已知函数的图象与轴相切，且切点在轴的正半轴上.（1）求曲线与轴，直线及轴围成图形的面积；（2）若函数在上的极小值不大于，求的取值范围.22.已知函数，.（1）当时，比较与的大小；（2）设，若函数在上的最小值为，求的值.9\n试卷答案一、选择题1-5:6-10:11、12：二、填空题13.14.15.16.三、解答题17.解：（1），，.，，，从而.（2），为锐角，，，.18.解：（1）当时，，由于也满足，则.，，，是首项为3，公差为2的等差数列，.（2），的前5项依次为1，3,5,7,9.，的前5项依次为3,5,7,9，1.易知，数列与的周期均为5，9\n的前20项和为.18.解：（1），，.又，或.（2）.,,,故在上的值域为.（1），.，的图象关于直线对称.19.（1）证明：由底面，得.又，，故平面.平面，平面平面.（2）解：，，则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，.9\n设是平面的法向量，则，即令，得设是平面的法向量，则，即，令，得.由图可知，二面角为钝角，故二面角的余弦值为.18.解：（1），得，由题意可得，解得.故，.（2），当时，无极值；当，即时，令得；令得或.9\n在处取得极小值，当，即，在（-3,2）上无极小值，故当时，在（-3,2）上有极小值且极小值为，即.，，.又，故.18.解：（1），构造函数，，当时，，在上单调递减.，故当时，，即，即.（2）由题得，则，由得到，设，.当时，；当时，.从而在上递减，在上递增..当时，，即（或，设，证明亦可得到）.在上，，，递减；9\n在上，，，递增.，，解得.9
