赣县第三中学高二年级2022-2022学年第一学期12月考数学（理科）试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题1．已知高一（1）班有48名学生，班主任将学生随机编号为01，02，……，48，用系统抽样方法，从中抽8人，若05号被抽到了，则下列编号的学生被抽到的是（ ）A．16B．22C．29D．332．已知命题,则命题的否定是( )A．B．C.D．3．x2－2x－3＜0的一个充分不必要条件是（ ）A．－1＜x＜3B．C．－3＜x＜1D．－1＜x＜64．“微信抢红包”自2022年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元，5份供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是（）A．B．C．D．5．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．56B．54C．36D．646．如图，已知四边形为正方形，扇形的弧与相切，点为的中点，在正方形中随机取一点，则该点落在扇形内部的概率为（）A．B．C．D．7．如图,在正方体中,点分别是面对角线与1的中点,若则=( )9A．B．C．D．8．如图为某几何体的三视图，则其体积为（）A．B．C．D．9．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．B．C．D．10．如图，已知三棱柱的各条棱长都相等，且底面，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角为( )A．B．C．D．11．在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面.如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，点是棱的中点，则过线段且平行于平面的截面的面积为( )A．B．C．D．12．已知直线，若存在实数使得一条曲线与直线由两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于，则称此曲线为直线的“绝对曲线”.下面给出的四条曲线方程：①；②；③；④.其中直线的“绝对曲线”的条数为（）A．1B．2C．3D．4第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．点关于平面的对称点为________.14．在区间上任取一个实数，则该数是不等式的解的概率为．15．正四面体内切球半径与外接球半径之比为__________．16．给出以下四个命题：9（1）命题，使得，则，都有；（2）已知函数，若a≠b，且f(a)＝f(b)，则ab＝1；（3）若平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等，则平面α平行于平面β；（4）已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则函数的图象关于点对称．其中真命题的序号为______________．（写出所有真命题的序号）三、解答题17．设p：实数x满足；q：实数x满足．（1）若，且p∨q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18．如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，且，为中点.（1）求证：平面；（2）求几何体的体积.19．已知圆C：，直线l过定点．（1）若直线与圆C相切，求直线l的方程；（2）若直线与圆C相交于P，Q两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程．20．央视传媒为了解央视举办的“朗读者”节目的收视时间情况，随机抽取了某市30名观众进行调查，其中有12名男观众和18名女观众，将这30名观众收视时间编成如图所示的茎叶图（单位：分钟），收视时间在35分钟以上（包括35分钟）的称为“朗读爱好者”，收视时间在35分钟以下（不包括35分钟）的称为“非朗读爱好者”.9（1）若采用分层抽样的方法从“朗读爱好者”和“非朗读爱好者”中随机抽取5名，再从这5名观众中任选2名，求至少选到1名“朗读爱好者”的概率；（2）若从收视时间在40分钟以上（包括40分钟）的所有观众中选出男、女观众各1名，求选出的这两名观众时间相差5分钟以上的概率.21．如图，在三棱锥S一ABC中，SA＝AB＝AC＝BC＝SB＝SC，O为BC的中点（1）求证：SO⊥平面ABC（2）在线段AB上是否存在一点E，使二面角B—SC－E的平面角的余弦值为？若存在，求的值，若不存在，试说明理由22．如图，圆：．（Ⅰ）若圆与轴相切，求圆的方程；（Ⅱ）已知，圆与轴相交于两点（点在点的左侧）．过点任作一条直线与圆：相交于两点．问：是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由．99参考答案1—5CABDB6—10ADAAA11—12BC13．14．15．16．（1）（2）（4）17．(1).；(2)因为x2﹣4ax+3a2＜0，所以a＜x＜3a,所以1＜x＜3.（1分）因为＜0，所以（x-2）(x-4)＜0，所以2＜x＜4.（1分）因为p∨q为真，所以p，q中至少有一个为真，其反面是两个都是假命题，当两个命题都是假命题时，，（4分）所以p，q中至少有一个为真时，x的范围为............5分(2)因为p是q的必要不充分条件，所以.10分18．（1）见解析；（2）.（1）证明：∵底面为正方形，∴，又，∴平面，3分∴.同理，5分∴平面.6分（2）∵为中点，.12分19．（1）或【详解】（1）①若直线l1的斜率不存在，则直线l1：x＝1，符合题意.2分②若直线l1斜率存在，设直线l1的方程为，即．由题知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2即：，解得5分所求直线l1的方程是或.6分(2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0,设直线方程为，则圆心到直线l1的距离9又∵△CPQ的面积＝∴当d＝时，S取得最大值2.9分∴＝∴k＝1或k＝711分所求直线l1方程为x－y－1＝0或7x－y－7＝0.12分20．(1)(2)（1）根据茎叶图，有“朗读爱好者”人，“非朗读爱好者”人，用分层抽样的方法，每个人被抽到的概率是选中的“朗读爱好者”有人，记为，“非朗读爱好者”有人，记为；2分记：至少有一名是“朗读爱好者”被选中，基本事件有，，，，，，，，，共个；满足事件的有，，，，，，共个，则6分（2）收视时间在分钟以上的男观众分别是，，，，，女观众分别是，现要各抽一名，则有，，，，，，，，，共种情况.8分收视时间相差分钟以上的有，，，，共种情况.10分故收视时间相差分钟以上的概率.12分21．（1）见解析（2）（1）∵，O为BC的中点，∴，2分设，则，，，∴，∴，又∵，∴平面ABC．6分（2）以O为原点，以OA所在射线为x轴正半轴，以OB所在射线为y轴正半轴，以OS所在射线为z轴正半轴建立空间直角坐标系．则有，，，，．9假设存在点E满足条件，设，则，则．设平面SCE的法向量为，由，得，故可取．易得平面SBC的一个法向量为．所以，，解得或（舍）．11分所以，当时，二面角的余弦值为．12分22．（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）联立直线与圆的方程，利用判别式为0得出值，即得圆的方程；（2）先求出，联立直线与圆的方程，利用根与系数的关系进行求解.解题思路:直线圆的位置关系，主要涉及直线与圆相切、相交、相离，在解决直线圆的位置关系时，要注意结合初中平面几何中的直线与圆的知识..试题解析：（Ⅰ）因为得，由题意得，所以故所求圆C的方程为．（4分）（Ⅱ）令，得，即所以假设存在实数，当直线AB与轴不垂直时，设直线AB的方程为，代入得，，设从而6分因为而9分因为，所以，即，得．9当直线AB与轴垂直时，也成立．11分故存在，使得.考点：1.圆的方程；2.直线与圆的位置关系.9
