临川十中12月月考高二数学（理科）试卷一、选择题（题型注释）1．直线的斜率为（）A．B．C．D．2．过点且与直线平行的直线方程是（）．A．B．C．D．3．在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别（）。A．23与26B．31与26C．24与30D．26与304．某校高中生共有2700人，其中高一年级900人，高二年级1200人，高三年级600人，现采取分层抽样法抽取容量为135的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为A．45，75，15B．45，45，45C．30，90，15D．45，60，305．已知x与y之间的一组数据：x0123ym35．57已求得关于y与x的线性回归方程＝2．1x＋0．85，则m的值为（）A．0．85B．0．75C．0．6D．0．56．抛2颗骰子，则向上点数不同的概率为（）A．B．C．D．7．以为圆心的圆与直线相切于点，则圆的方程是（）A．B．C．D．8．如下图，矩形ABCD中，点E为边CD上任意一点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（）-10-\n（A）（B）（C）（D）9．执行如图的程序框图，则输出的结果是A．B．C．D．10．如图是一个几何体的三视图（尺寸的长度单位为），则它的体积是（）.11侧视图正视图32A.B.C.D.11．从装有个红球和个黒球的口袋内任取个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黒球与都是黒球B．至少有一个黒球与都是黒球C．至少有一个黒球与至少有个红球D．恰有个黒球与恰有个黒球12．在长方体ABCD-A1B1C1D1，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为（）A．B．C．D．-10-\n第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13．把容量是100的样本分成8组，从第1组到第4组的频数分别是15，17，11，13，第5组到第7组的频率之和是0.32，那么第8组的频率是.14．直线截得的弦AB的长为。15．在上随机取一个数，则的概率为．16．设m，n，l为空间不重合的直线，为空间不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是．（1）m//l，n//l，则m//n；（2）ml，nl，则m//n；（3），则；（4），则；三、解答题（题型注释）17．已知直线l经过A,B两点，且A(2,1)，=(4,2).(1)求直线l的方程；(2)圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于(2,0)点，求圆C的方程．18．（本题满分12分）已知圆，点是圆内的任意一点，直线.（1）求点在第一象限的概率；（2）若，求直线与圆相交的概率.19．（本小题满分14分）某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（1）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；（2）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2-10-\n人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．20．（本小题满分12分）在2022年全运会上两名射击运动员甲、乙在比赛中打出如下成绩：甲：9．4，8．7，7．5，8．4，10．1，10．5，10．7，7．2，7．8，10．8；乙：9．1，8．7，7．1，9．8，9．7，8．5，10．1，9．2，10．1，9．1；（1）用茎叶图表示甲、乙两人的成绩；并根据茎叶图估计他们的中位数；（2）已知甲、乙两人成绩的方差分别为与，分别计算两个样本的平均数和标准差，并根据计算结果估计哪位运动员的成绩比较好，哪位运动员的成绩比较稳定．21．（本小题满分13分）在四棱锥中，底面是正方形，与交于点，底面，为的中点.（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）若在线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．22．已知定圆,定直线,过的一条动直线与直线相交于,与圆相交于两点,是中点.(Ⅰ)当与垂直时,求证:过圆心;(Ⅱ)当时,求直线的方程;(Ⅲ)设,试问是否为定值,若为定值,请求出的值;若不为定值,请说明理由.参考答案1．D试题分析：直线斜率．2．A试题分析：因为所求直线与直线平行，所以设所求直线为，又过点，代入求出，所以所求直线为，故选A。-10-\n考点：两直线的平行3．B试题分析：众数是出现的次数最多的数，中位数是按大小排列后位于中间的一个数或两个数的平均数，因此众数是31，中位数是364．D试题分析：设高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为，则有，解得：，故选择D5．D试题分析：，中心点代入回归方程＝2．1x＋0．85得6．A试题分析：抛两颗骰子向上点数相同的概率为,则向上点数不同的概率为．故D正确．7．D试题分析：由题意可知点与点的连线与直线垂直,所以,解得．由题意知点即点在圆上,所以圆的半径．所以圆的标准方程为．故D正确．8．C试题分析：根据题意，由于矩形ABCD中，点E为边CD上任意一点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则可知三角形ABE的面积为矩形面积的，那么结合几何概型的面积比即可知，点Q取自△ABE内部的概率等于，选C.9．D试题分析：模拟算法：开始：成立，，成立，，成立，，不成立，输出，故选D．10．A试题分析：根据几何体的三视图，还原几何体，是正三棱柱，根据图中数据可得故选A.-10-\n11．D试题分析：A中至少有一个黒球包括都是黑球，不是互斥的；B中至少有一个黒球包括都是黑球，不是互斥的；C中两个事件都可能是1黑球1红球；D中是互斥事件但不对立12．C试题分析：取中点,作平面13．0.1214．8试题分析：由题意可得：圆心到直线的距离，所以被圆截得弦长为。15．试题分析：在上随机取一个数,有无数个可能的结果，所有可能的结果组成一个长度为6的线段，记“所取的数满足不等式”为事件A，因为不等式的解集为则事件A所包含量的所以基本结果组成长度为3的线段，由几何概型的概率公式得：,所以答案应填:.考点：几何概型.16．（1）（3）试题分析：对（1）由平行公理可得平行的传递性，为正确命题；对（2）ml，nl，则m与n的关系有m//n或m⊥n或m与n异面，所以为错误命题；对（3）由平行的传递性可得为正确命题；对（4），则与的关系为∥或⊥或与相交，所以为假命题。综上真命题为（1）（3）．17．（1）x-2y=0．（2）(x-2)²+(y-1)²=1．试题分析：解：(1)∵A(2,1),=(4,2)∴B(6,3)∵直线l经过A,B两点∴直线l的斜率k==，2分-10-\n∴直线的方程为y-1(x-2)即x-2y=0．4分法二：∵A(2,1),=(4,2)∴B(6,3)1分∵直线l经过两点(2,1),(6,3)∴直线的两点式方程为=，3分即直线的方程为x-2y=0．4分(2)因为圆C的圆心在直线l上，可设圆心坐标为(2a,a)，∵圆C与x轴相切于(2,0)点，所以圆心在直线x=2上，∴a=1，6分∴圆心坐标为(2,1)，半径为1，∴圆的方程为(x-2)²+(y-1)²=1．【答案】解：（1）设圆与轴的交点为。连结.令中的得，所以，因为，所以，所以圆在轴左侧的弓形的面积为，所以圆面在第一象限部分的面积为.所以，点在第一象限的概率.（2）欲使直线与圆相交，须满足，即，解得.又因为，所以直线与圆相交的概率.19．（1）6（2）试题分析：（I）利用频率分布直方图，求出频率，进而根据频数=频率×样本容量，得到答案；（II）先计算从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人的情况总数，再计算所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案试题解析：（Ⅰ）由题意可知，参加社区服务在时间段[90，95）的学生人数为20×0．04×5=4（人），参加社区服务在时间段[95，100]的学生人数为20×0．02×5=2（人）．所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为4+2=6（人）．（Ⅱ）设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件A．由（Ⅰ）可知，参加社区服务在时间段[90，95）的学生有4人，记为a，b，c，d；-10-\n参加社区服务在时间段[95，100]的学生有2人，记为A，B．从这6人中任意选取2人有ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况．事件A包括ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率．20．（1）茎叶图如下图所示，甲中位数是9．05，乙中位数是9．15；（2）乙运动员的成绩比甲运动员的成绩好；乙运动员比较稳定．【解析】试题分析：（1）以茎表示成绩的整数环数，叶表示小数点后的数字，作出茎叶图即可，如下图；（2）由平均数公式即可求出两者的平均数，平均数大的成绩较好，同时，方差小的成绩稳定．试题解析：（1）如图所示，茎表示成绩的整数环数，叶表示小数点后的数字．甲乙8257147875491872187511011由上图知，甲中位数是9．05，乙中位数是9．15（2）解：＝×（9．4+8．7+7．5+8．4+10．1+10．5+10．7+7．2+7．8+10．8）=9．11＝×（9．1+8．7+7．1+9．8+9．7+8．5+10．1+9．2+10．1+9．1）＝9．14S甲＝由，这说明乙运动员的好于甲运动员的成绩由S甲S乙，这说明甲运动员的波动大于乙运动员的波动，所以我们估计，乙运动员比较稳定．考点：数据的数字特征的计算及应用．21．试题解析：（Ⅰ）连接.由是正方形可知,点为中点.又为的中点，所以∥.2分又平面平面所以∥平面4分（Ⅱ）证明：由底面底面所以由是正方形可知,-10-\n所以平面8分又平面，所以9分（Ⅲ）在线段上存在点，使平面.理由如下：如图，取中点，连接.在四棱锥中，，所以.11分由（Ⅱ）可知，平面，而平面所以，平面平面，交线是因为，所平面12分由为中点，得13分考点：本题考查线面平行，线线垂直，，线面垂直点评：找到平面外一条直线和平面内一条直线平行则线面平行，先证线面垂直再得到线线垂直，第三问有线面垂直找到关系，得到G点位置22．(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)或(Ⅲ)是定值-5【解析】试题分析：(Ⅰ)当与垂直时斜率相乘为，从而得到斜率及方程(Ⅱ)直线与圆相交时常用弦长的一半，圆心到直线的距离，圆的半径构成的直角三角形求解(Ⅲ)先将直线设出，与圆联立求出点坐标，将直线与直线联立求得，代入中化简得常数，求解时需注意直线方程分斜率存在不存在两种情况试题解析：(Ⅰ)由已知,故,所以直线的方程为.将圆心代入方程易知过圆心4分(Ⅱ)当直线与轴垂直时,易知符合题意;当直线与轴不垂直时,设直线的方程为,由于,所以由,解得.故直线的方程为或-8分(Ⅲ)当与轴垂直时,易得,,又则,故.即当的斜率存在时,设直线的方程为,代入圆的方程得-10-\n.则,即,.又由得,则.故.综上,的值为定值,且12分另解一:连结,延长交于点,由(Ⅰ)知.又于,故△∽△.于是有.由得故另解二:连结并延长交直线于点,连结由(Ⅰ)知又,所以四点都在以为直径的圆上,由相交弦定理得考点：1.直线方程；2.直线与圆相交的位置关系；3.向量的坐标运算-10-
