江西省吉安一中2022-2022学年上学期高二年级第二次阶段考试数学试卷（理科）本试卷分三大题，共满分150分，考试时间120分钟。第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。1.若PQ是圆的弦，PQ中点是（1，2），则直线PQ方程是（）A.B.C.D.2.已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=，那么原△ABC中∠ABC的大小是（）A.30°B.45°C.60°D.90°3.过点（2，-2）且与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程是（）A.B.C.D.4.设圆的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为（）A.B.C.D.5.“方程表示焦点在轴上的椭圆”的充分不必要条件是（）-11-A.B.C.D.6.若，则和所表示的曲线只可能是（）7.设是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A.若，，则B.若，C.若D.若8.过双曲线的一个焦点F引它的一条渐近线的垂线，垂足为M，延长FM交轴于E，若M为EF的中点，则双曲线的离心率为（）A.2B.C.3D.9.如图，在正方形中，E，F分别是，的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体，使三点重合于点G，这样，下列五个结论：（1）SG⊥平面EFG；（2）SD⊥平面EFG；（3）GF⊥平面SEF；（4）EF⊥平面GSD；（5）GD⊥平面SEF。正确的是（）A.（1）和（3）B.（2）和（5）C.（1）和（4）D.（2）和（4）10.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）-11-A.B.C.D.11.已知椭圆的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，且斜率分别为，若点A，B关于原点对称，则的值为（）A.B.C.D.12.已知椭圆与双曲线有共同的焦点（-2，0），（2，0），椭圆的一个短轴端点为B，直线与双曲线的一条渐近线平行，椭圆与双曲线的离心率分别为，则取值范围为（）A.B.C.D.第II卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.如图，AB是平面的斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是___________（填“圆”“椭圆”“一条直线”“两条平行直线”）14.已知直二面角，点，C为垂足，，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于___________。15.从双曲线的左焦点F引圆的切线FP交双曲线右支于点P，T为切点，M为线段PF的中点，O为原点，则___________。16.已知方程对应的曲线为C，（-4，0），（4，0）是与曲线C有关的两定点，下列关于曲线C的命题正确的有___________（填序号）。（1）曲线C是以为焦点的椭圆的一部分；-11-（2）曲线C关于轴、轴、坐标原点对称；（3）P是曲线C上任意一点，；（4）P是曲线C上任意一点，；（5）曲线C围成的图形面积为30。三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知命题“：存在，”是假命题，求实数的取值范围。18.（12分）已知一个几何体的三视图如图所示。（1）求此几何体的表面积；（2）如果点P，Q在正视图中所示位置：P为所在线段中点，Q为顶点，求在几何体表面上，从P点到Q点的最短路径的长。19.（12分）已知圆，点A（1，-3）。（I）求过点A与圆相切的直线的方程；（II）设圆为圆关于直线对称的圆，则在轴上是否存在点P，使得P到两圆的切线长之比为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由。20.（12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°。-11-（1）求证：AC⊥平面BDE；（2）求二面角F-BE-D的余弦值；（3）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论。21.（12分）如图，动点M与两定点A（-1，0），B（2，0）构成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，设动点M的轨迹为C。（1）求轨迹C的方程；（2）设直线（其中）与轴相交于点P，与轨迹C相交于点Q，R，且，求的取值范围。22.（12分）已知抛物线的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线交C于另一点B，交轴的正半轴于点D，且有|，当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形。（1）求C的方程；（2）若直线，且和C有且只有一个公共点E，（i）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ii）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。-11-参考答案1~6BCDDAC7~12DDCBDD13.椭圆14.15.16.（2）（3）（5）17.已知命题“：存在，”是假命题，求实数a的取值范围。解析：因命题：存在，的否定形式为：非：任意恒成立，由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知命题非是真命题。事实上，当时，对任意的，不等式恒成立；当时，不等式恒成立的等价条件是且其判别式，即；综合以上两种情形可知：非为真命题时，所求实数的取值范围是或，即命题是假命题时，所求实数的取值范围是。18.解：（1）由三视图知，此几何体是由上部的圆锥和下部的圆柱构成的组合体，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和。，，∴。（2）沿点与Q点所在母线剪开圆柱侧面，如图所示，在矩形ABCQ中，PQ为几何体表面上从P点到Q点的最短路径，且PQ，所以在几何体表面上从P点到Q点的最短路径的长为。19.解析：（1），，-11-因为点A恰在圆上，所以点A即是切点，，所以，所以，直线的方程为，即；（2）因为点A恰为中点，所以，，所以，圆，设，①，或②由①得，解得或10，所以，或（10，0），由②得，，求此方程无解。综上，存在两点P（-2，0）或P（10，0）适合题意。20.解：（1）证明：因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC，因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE。（2）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示。因为BE与平面ABCD所成角为60°，即∠DBE=60°，所以=由可知DE=，AF=。则A（3，0，0），F（3，0，），E（0，0，），B（3，3，0），C（0，3，0）所以，，设平面BEF的法向量为，则即令，则。-11-因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，=（3，-3，0），所以。因为二面角为锐角，所以二面角F-BE-D的余弦值为。（3）可设，则。因为AM⊥平面BEF，所以，即，解得。此时，点M坐标为（2，2，0），，符合题意。21.解：（1）设M的坐标为（），显然有，且。当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，），当∠MBA90°时，，由∠MBA=2∠MAB，有，即，化简可得，。而点在曲线上，综上可知，轨迹C的方程为（）。-11-（2）由消去并整理，得（*）由题意，方程（*）有两根且均在（1，）内，设，∴解得，且。∵，∴。设Q，R的坐标分别为（），（），由及方程（*）有，∴。由，得，故的取值范围是（1，7）。22.解析：（1）由题意知，设，则FD的中点为。因为，由抛物线的定义知，解得或（舍去），由，解得。所以抛物线C的方程为。（2）（i）由（1）知F（1，0），设（），D（）（），因为，得，由得，故。-11-故直线AB的斜率，因为直线和直线AB平行，设直线的方程为，代入抛物线方程得，由题意△，得，设，则，，当时，，AE的方程为由，整理可得，故直线AE恒过点F（1，0）。当时，直线AE的方程为，过点F（1，0）。所以直线AE过定点F（1，0）。（ii）由（i）知直线AE过焦点F（1，0），所以。设直线AE的方程为，因为点A（）在直线AE上，故，。直线AB的方程为，由于，可得，代入抛物线方程得，所以，可求得，所以点B到直线AE的距离为-11-。则△ABE的面积，当且仅当，即时等号成立，所以△ABE的面积的最小值为16。-11-
