江西省吉安一中2022届上学期高三年级第二次阶段考试数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1.复数的共轭复数是（）A.B.C.D.2.在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（）A.B.C.D.3.设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为（）A.4B.C.2D.4.已知点在不等式组表示的平面区域上运动，则的取值范围是（）A.B.C.D.5.设是两个实数，则“中至少有一个数大于1”是“”成立的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件6.设在△ABC中，，，AD是边BC上的高，则的值等于（）A.0B.C.4D.7.设集合，集合。若中恰含有一个整数u，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.-11-8.等差数列的前n项和为，且满足，，则，，…，中最大的项为（）A.B.C.D.9.三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，且长度分别为3、4、5，则三棱锥P-ABC外接球的体积是（）A.B.C.D.10.已知双曲线的两个焦点分别为，，P是双曲线上的一点，且，则双曲线方程是（）A.B.C.D.11.在如图所示的程序框图中，当时，函数等于函数的导函数，若输入函数，则输出的函数可化为（）A.B.C.D.-11-12.已知函数，若，则a的取值范围是（）A.B.C.D.二、填空题（每小题5分，共20分）13.方程的根，则k=_____。14.已知两个单位向量a，b的夹角为60°，，若，则实数t=_______。15.某几何体的三视图如图所示，当xy最大时，该几何体的体积为_________。16.数列的通项，其前n项和为，则为_______。三、解答题17.（12分）已知函数。（1）求函数的最小正周期、最大值及取最大值时自变量的取值集合；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c；若a，b，c成等比数列，且，求的值。18.（12分）某高校在2022年的自主招生考试中随机抽取了100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第一组[160,165），第二组[165,170），第三组[170,175），第四组[175,180），第五组[180,185）得到的频率分布直方图如图所示。-11-（1）求第三、四、五组的频率；（2）为了以选拔出最优秀的学生，学校决定在笔试成绩高的第三、四、五组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第三、四、五组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试。（3）在（2）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第四组至少有一名学生被甲考官面试的概率。19.（12分）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1。（I）求证：AF⊥平面CBF；（II）设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF；（III）设平面CBF将几何体EFABCD分成的两个锥体的体积分别为，求。20.（12分）已知椭圆C：过点，且椭圆C的离心率为.-11-（I）求椭圆C的方程；（II）若动点P在直线上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，且P为线段MN中点，再过P作直线.证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标。21.（12分）已知函数，其中。（1）当a=3，b=-1时，求函数的最小值；（2）当a>0，且a为常数时，若函数对任意的，总有成立，试用a表示出b的取值范围。选做题：请考生在第22、23、24题中任选一题作答，作答时请写清题号。22.选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D。（I）证明：DB=DC；（II）设圆的半径为1，，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径。23.选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为。（I）把C1的参数方程化为极坐标方程；（II）求C1与C2交点的极坐标（）。24.选修4—5：不等式选讲已知函数，。-11-（I）当时，求不等式的解集；（II）设，且当时，，求a的取值范围。-11-18.解：（1）由题设可知，第三组的频率为0.06×5=0.3第四组的频率为0.04×5=0.2第五组的频率为0.02×5=0.1（3分）（2）第三组的人数为0.3×100=30第四组的人数为0.2×100=20第五组的人数为0.1×100=10因为第三、四、五组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组抽到的人数分别为：第三组第四组第五组，所以第三、四、五组分别抽取3人，2人，1人。（6分）（3）设第三组的3位同学为，第四组的2为同学为,第五组的1为同学为C1，则从6为同学中抽2位同学有：共15种可能…………（9分）其中第四组的2为同学中至少1为同学入选有，共9种可能。-11-所以第四组至少有1位同学被甲考官面试的概率为。（12分）19.解：（I）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴CB⊥平面ABEF，∵AF平面ABEF，∴AF⊥CB，……2分又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，∴AF⊥平面CBF。……4分（II）设DF的中点为N，则MN，又，则，MNAO为平行四边形，………………6分∴OM∥AN，又AN平面DAF，PM平面DAF，∴OM∥平面DAF。8分（III）过点F作FG⊥AB于G，∵平面ABCD⊥平面ABEF，∴FG⊥平面ABCD，∴，………………10分∵CB⊥平面ABEF，∴，∴………………12分20.解：（I）因为点在椭圆C上，所以，又椭圆C的离心率为，所以，即，所以，所以椭圆C的方程为（4分）（II）设，，①当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为，，由，得，所以，因为P为MN中点，所以，即，所以，因为直线，所以，所以直线的方程为，即，显然直线恒过定点（10分）-11-②当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为，此时直线为x轴，也过点综上所述，直线恒过定点（12分）（此题还可以用点差法）21.解：（1）当时，∴∵，∴时，；时，即在上单调递减，在上单调递增∴在处取得最小值，即。（2）由题意，对任意的，总有成立。令，，则函数在上单调递增∴在上恒成立，∴在上恒成立。构造函数则∴F（x）在上单调递减，在上单调递增（i）当，即时，F（x）在上单调递减，在上单调递增∴∴，从而-11-（ii）当，即时，在上单调递增，从而综上，当时，，时，22.解：（1）连结DE，交BC为G，由弦切角定理得，，而，故.又因为DB⊥BE，所以DE为直径，，由勾股定理，可得DB=DC。（II）由（1），，DB=DC，故DG是BC的中垂线，所以，圆心为O，连结BO，则，，所以CF⊥BF，故外接圆半径为。23.解：（1）将，消去参数t，化学普通方程，即：，将代入得所以极坐标方程为。-11-（2）C2的普通方程为，解得或。所以C1与C2交点的极坐标为。24.解：（I）当a=-2时，不等式化为，设函数，则其图象如图所示从图象可知，当且仅当时，y<0，所以原不等式的解集是；（II）当，，不等式化为，所以对都成立，故，即，从而a的取值范围是。-11-
