2022-2022学年度上学期期中考试试卷高二数学试题(理科)一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共计60分）1．双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．2．直线（是参数）被圆截得的弦长等于（ ）A.B.C.D.3.已知椭圆的两个焦点为、，且，弦AB过点，则△的周长为（）A．10B．20C．2D．4..双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双曲线的标准方程为()A.B.C.D.5.椭圆上一点到右准线的距离为，则到左焦点的距离为( )A. B. C.D.6.已知是抛物线上一动点，则点到直线和轴的距离之和的最小值是（ ）A.B.C.2D.7.若实数、满足：，则的取值范围是（）A.，B.，C.，D.，-7-\n8.双曲线的左、右焦点分别为是双曲线渐近线上的一点，，原点到直线的距离为，则渐近线的斜率为（ ）A.B.C.D.9.已知点为双曲线右支上一点，点分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若，则的面积为( )A.2B.10C.8D.610．已知双曲线的右焦点为，若过点的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是()A.B.C.[D.11.过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（ ）A.5B.4C.3D.212．已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率取值范围为（）A.B.(C.D.二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分）13．抛物线的焦点坐标是________________.14．椭圆的左焦点为，若关于直线的对称点是椭圆上的点，则椭圆的离心率为________________.-7-\n15．已知椭圆：，左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为，则椭圆标准方程为___________．16.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是________________.三、简答题(本大题共6小题，17题10分，18-22题，每题12分)17．已知椭圆C：，直线（t为参数）．(1)写出椭圆C的参数方程及直线的普通方程；(2)设，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线的距离相等，求点P的坐标．18.已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点在椭圆E上．（1）求椭圆E的方程；（2）设过点的直线与椭圆相交于、两点，若的中点恰好为点，求直线的方程．19.已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点.（1）求双曲线方程；（2）若点在双曲线上，求证：点在以为直径的圆上；（3）在（2）的条件下求的面积.20.已知动点在抛物线上，过点作轴的垂线，垂足为，动点满足.(1)求动点的轨迹的方程；（2）点，过点且斜率为的直线交轨迹于两点，设直线的斜率为，求的值.-7-\n21.平面直角坐标系xOy中，过椭圆右焦点的直线交于两点，为的中点，当时的斜率为．(1)求的方程；(2)轴上是否存在点，使得变化时总有，若存在请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．22．设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点.(1)证明为定值，并写出点的轨迹方程；(2)设点的轨迹为曲线，直线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于P，Q两点，求四边形面积的取值范围.南昌十中2022-2022学年度上学期期中考试试卷高二数学理科试题答案一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共计60分）二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分）13.14.15.16.三、简答题(本大题共6小题，17题10分，18-22题，每题12分)17.（10分）【答案】（1），x－y＋9＝0；（2）．试题解析：（Ⅰ）C：（θ为参数），：x－y＋9＝0．4分（Ⅱ）设，则，-7-\nP到直线l的距离．由|AP|＝d得3sinθ－4cosθ＝5，又sin2θ＋cos2θ＝1，得，．故．10分18.（12分）【答案】（1）；（2）.试题解析：（1）由题得，又，解得，∴椭圆方程为：；（2）设直线的斜率为，，∴，两式相减得，∵是AB中点，∴，代入上式得：，解得，∴直线.19.（12分）【答案】(1)（2）见解析（3）6试题解析：离心率为，双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为点在曲线上，代入得，（2）证明：点在双曲线上，点在以为直径的圆上。（3）-7-\n20.（12分）【答案】(1)(2)试题解析：（1）设点轨迹的方程为（2）设过点的直线方程为，联立得则21.（12分）【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）Q（2，0），使得∠AQO=∠BQO解：（Ⅰ）因为l：y=kx﹣k过定点（1，0），所以c=1，a2=b2+1．当k=1时，直线l：y=kx﹣k，联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），化简得（2b2+1）x2﹣2（b2+1）x+1﹣b4=0，则，于是，所以AB中点P的坐标为，OP的斜率为，所以b=1，．从而椭圆C的方程为；（Ⅱ）假设存在点Q设坐标为（m，0），联立，化简得：（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，-7-\n所以，，直线AQ的斜率，直线BQ的斜率．，当时，所以存在点使得∠AQO=∠BQO22.（12分）(1)证明 因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.由题设得A(－1，0)，B(1，0)，|AB|＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：＋＝1(y≠0).(2)解 当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2).由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0.则x1＋x2＝，x1x2＝，所以|MN|＝|x1－x2|＝.过点B(1，0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)，A到m的距离为，所以|PQ|＝2＝4.故四边形MPNQ的面积S＝|MN||PQ|＝12.可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12，8).当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，故四边形MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12，8).-7-
