2022-2022学年第一学期高二期中调研测试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需写出解答过程．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1.命题“，”的否定是▲．2.过点且与直线垂直的直线方程是▲．3.抛物线的准线方程是▲．4.命题“若，则”的否命题是▲．5.若圆的半径为3,圆心与点关于点对称,则圆的标准方程为▲．6.“直线与圆相切”是“”的▲．(填“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”中的一个)7.若抛物线上一点M到焦点的距离为3，则点M到y轴的距离为▲．8.直线与直线平行，则与间的距离为▲．9.椭圆的左、右两焦点分别为，椭圆上一点满足，则的面积为▲．10.已知双曲线的一条渐近线平行于直线l：，且它的一个焦点在直线l上，则双曲线C的方程为▲．11.已知椭圆的左焦点为，下顶点为．若平行于且在轴上截距为的直线与圆相切，则该椭圆的离心率为▲．-10-\n1.椭圆C：的左顶点为A，左焦点为F，过点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，BF垂直于x轴，若＜k＜,则椭圆的离心率的取值范围是▲．2.过点作直线与圆交于两点，且为中点，则弦的长为▲．3.已知点，，圆（）上存在唯一的点，使，则实数的值是▲．二、解答题：（本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.(本题满分14分)在平面直角坐标系中,直线的方程为.（Ⅰ）若直线的斜率为,求实数的值；（Ⅱ）若直线与坐标轴围成的三角形的面积为,求实数的值.16．(本题满分14分)已知命题，命题实数满足：方程表示双曲线．（Ⅰ）若命题为真命题，求实数的取值范围；（Ⅱ）若命题“或”为假命题，求实数的取值范围．17．(本题满分14分)已知点，圆．（Ⅰ）过点作圆的切线，为切点，求线段的长；（Ⅱ）过点作直线与圆交于两点，且，求直线的方程．-10-\n18．（本题满分16分）为迎接第十四届中国双黄鸭蛋节，组委会设计了鸭蛋型图徽.图徽外框由半圆和半椭圆组成（如图），半圆的直径为10，椭圆的离心率为，且短轴与半圆的直径重合，图徽内有一矩形区域用于绘画图案，矩形关于椭圆的长轴对称，且顶点在图徽外框上．（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求出半圆的方程和半椭圆的方程；（Ⅱ）根据美学知识，当时达到最佳美观的效果，求达到最佳美观的效果时的长．19．（本题满分16分）已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点是椭圆上一点，求以点为切点的椭圆的切线方程；（Ⅲ）设点是直线上一动点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，直线是否过定点？如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由．-10-\n20．（本题满分16分）已知椭圆：，四点中恰有三个点在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，以为圆的圆半径为，是圆的两条切线，切点分别为．求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率．-10-\n2022-2022学年第一学期期中测试数学参考答案一、填空题：1.，2.3.4.若，则5.6.必要不充分条件7.28.9.10.11.12.13.14或二、解答题：15.解：（Ⅰ）直线斜率存在时,斜率为,则；……7分（Ⅱ）由，时,；时,；则围成的三角形面积为,由面积为可得.……14分16．解：（Ⅰ）因为恒成立，则，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 解得，所以实数的取值范围是．．．．．．．．6分（Ⅱ）因为“”为假命题，所以为假命题，为假命题．．．．．．．．8分当为真命题时，则，解得所以为假命题时．．．．．．．10分由（1）知，为假命题时．．．．．．．12分从而，解得所以实数的取值范围为．．．．．．．14分17．解：（Ⅰ）圆：，圆心为，半径2．……2分……4分连结，则，……5分所以…………6分-10-\n（Ⅱ）①设圆心到直线的距离为，，则……8分若直线的斜率不存在，则，满足；……9分若直线的斜率存在，设方程为，即则令，解得，此时直线的方程为……13分综上所述，方程为或．…………14分（说明：不考虑斜率不存在的情况，扣3分）18．解：（Ⅰ）以半圆的直径为x轴，圆心为坐标原点,建立平面直角坐标系,则半圆的方程为（），…………4分椭圆的短半轴，所以所以半椭圆方程为（）…………8分（Ⅱ）当的四个顶点均在边界上时，面积最大，设第一象限内的点的横坐标为，则，，……10分由得，…………12分解得，此时…………14分答：达到最佳美观的效果时为…………16分-10-\n19．（Ⅰ）设椭圆的方程为.由题意得解得.所以.所以椭圆的方程为.…………3分（Ⅱ）（1）如果，则切线的斜率存在，设切线方程为，即 与椭圆联立，消去整理得： （*）因为直线与椭圆相切，所以方程（*）中△＝……5分得 ①又因为点在椭圆上，所以代入①得所以…………6分所以切线方程为，即…………7分（2）如果坐标为，则切线方程为，满足…………8分（3）如果坐标为，则切线方程为，满足-10-\n…………9分综上所述，切线方程为…………10分（Ⅲ）法一：设，则由（Ⅱ）可知，方程为①方程为②…………12分由①②解得，由，即又的方程为，…………13分令得，…………15分所以恒过定点．…………16分法二：设，则由（Ⅱ）可知，方程为 又点在上，所以…………12分同理所以的方程为…………13分由，得所以恒过定点．…………16分-10-\n20．解：（Ⅰ）由对称性可知，在椭圆上，不在椭圆上，则在椭圆上，所以，将点B代入椭圆方程，可得所以椭圆方程为………4分（Ⅱ）设，联立方程得，由题意知，且，…………6分所以.由题意可知圆的半径为………8分由题设知，所以………9分因此直线的方程为.联立方程得，………11分-10-\n因此.由题意可知，………12分而，令，则，因此，当且仅当，即时等号成立，此时，………14分所以，因此，所以最大值为.………15分综上所述：的最大值为，取得最大值时直线的斜率为.……16分-10-
