江苏省赣榆区2022届高三3月份联考调研考试数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．答案填在答题卡相应的位置上）1.已知集合，集合，则.2.复数（i是虚数单位）的实部是．3.设命题；命题，那么是的条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)．充分不必要4.从这五个数中一次随机取两个数，其中一个数是另一个数的两倍的概率为．5.已知是不重合的两条直线，是不重合的两个平面．下列命题：①若，，则∥；②若，，则∥；③若∥，，则；④若∥，，则∥．其中所有真命题的序号是.②6.已知一个三棱锥的所有棱长均相等，且表面积为，则其体积为．7.变量满足，设，则的取值范围是．8.已知直线及直线截圆所得的弦长均为，则圆的面积是．9.己知抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点，则该双曲线的离心率为 ．10.已知函数，则关于的不等式-8-的解集是．11.设为中线的中点，为边中点，且，若，．12.已知数列满足，，它的前项和为，若，求．13.已知圆心角为的扇形的半径为，为弧的中点，点、分别在半径、上．若，则的最大值是_________．14.函数的定义域为，若满足①在内是单调函数，②存在，使在上的值域为，那么叫做对称函数，现有是对称函数，那么的取值范围是．二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．）15.（本题满分14分）已知（1）求函数的最小正周期；（2）若，且，求的值．【思路分析】第（1）问利用倍角和降幂公式将进行“化一”，再求函数的周期；第（2）问在三角化简求值中属“给值求值”类型，应综合条件式与目标式的特点，灵活进行角度配凑，选择公式．【解析】（1）因为-8-，所以函数的最小周期．……（7分）（2）因为，所以，又因为，所以，即．=．……（14分）16．(本题满分14分)如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，∥，，，，为的中点．（1）求证：平面；（2）已知点为线段的中点，证明：∥平面．证明：⑴△PAD中，PA=PD，Q为AD中点，∴PQ^AD，底面ABCD中，AD//BC，BC=AD,∴DQ//BC,DQ=BC∴BCDQ为平行四边形，由ÐADC=900，∴ÐAQB=900，∴AD^BQ由AD^PQ,AD^BQ,BQ∩PQ=Q,PQ、BQÌ面PBQ∴AD^平面PBQ……(7分)⑵连接CA,AC∩BQ=N,由AQ//BC,AQ=BC,∴ABCQ为平行四边形，∴N为AC中点，由DPAC中，M、N为PC、AC中点，∴MN//PA由MNÌ面BMQ，PAË面BMQ∴面BMQ‖PA……(14分)17.(本题满分14分）近年来玉制小挂件备受人们的青睐，某玉制品厂去年的年产量为万件，每件小挂件的销售价格平均为元，生产成本为元，从今年起工厂投入万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入万元科技成本，预计产量每年递增万件，设第年每件小挂件的生产成本元，若玉制产品的销售价不变，第年的年利润为万元（今年为第年）（1）求的表达式；-8-（2）问从今年算起第几年的利润最高？最高利润为多少万元？解（1）据题意，第年产量为（万件），销售额为100（万元），科技成本为100万元．，……（7分）（2）令，得当且仅当即，亦即时，取等号故从今年起，第6年的利润最高，且最高利润为360（万元）……（14分）18.(本题满分16分）已知数列的前项和为，且满足：，（1）求的值；（2）求证：数列是等比数列，并求通项公式；（3）令，，如果对任意，都有，求实数的取值范围.【思路分析】（1）、（2）两问目标明确、思路清楚，第（3）问应是采用分离参数的方法解决恒成立问题，具体来说，就是解不等式．【解析】（1），……（3分）（2）由题可知：①②……（5分）②-①可得……（6分）即：，又……（8分）-8-所以数列是以为首项，以为公比的等比数列．即……（10分）（3）由(2)可得，由可得由可得，所以，故有最大值，所以，对任意，有……（13分）如果对任意，都有，即成立，则，故有：，解得或．所以实数的取值范围是．……（16分）19．（本题满分16分）给定椭圆，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”．若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到距离为．（1）求椭圆及其“伴随圆”的方程；（2）若过点的直线与椭圆只有一个公共点，且截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为，求的值；（3）过椭圆“伴随圆”上一动点作直线，使得与椭圆都只有一个公共点，试判断直线的斜率之积是否为定值,并说明理由.解：（1）由题意得：，半焦距,则椭圆C方程为-8-,“伴随圆”方程为……(2分)（2）则设过点且与椭圆有一个交点的直线为，则整理得,则，解①7分又因为直线截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为，则有化简得②……8分联立①②解得，，所以，，则……(10分)（3）当都有斜率时，设点其中，设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，由，消去得到…………12分即，，经过化简得到：，……14分因为，所以有，设的斜率分别为，因为与椭圆都只有一个公共点，所以满足方程，因而，即直线的斜率之积是为定值……16分20．（本题满分16分）已知函数（为常数），其图象是曲线．（1）当时，求函数的单调递减区间；（2）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与-8-同时成立，求实数的取值范围；（3）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线，设切线的斜率分别为．问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．20．(1)当时，.……………1分令f¢(x)<0，解得，所以f(x)的单调减区间为．……………2分(2)，由题意知消去，得有唯一解．……………4分令，则，所以在区间，上是增函数，在上是减函数，……………6分又，，故实数的取值范围是．……………8分(3)设，则点处切线方程为，与曲线：联立方程组，得，即所以点的横坐标．……………12分由题意知，，，若存在常数，使得，则，即存在常数，使得，-8-所以解得，．……………15分故时，存在常数，使；时，不存在常数，使．……………16分-8-
