2022～2022学年苏州市高二期末调研测试数学（理科）注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含填空题（第1题-第14题）、解答题（第15题-第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．数学Ⅰ试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上）1．命题“”的否定是“▲”．2．抛物线y2=4x的准线方程为▲．3．设复数（为虚数单位），则的虚部是▲．4．“”是“”的▲条件．(在“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)5．的二项展开式中的常数项是▲（用数字作答）．6．若定义在上的函数的导函数为，则函数的单调递减区间是▲．7．口袋中有形状、大小都相同的2只白球和1只黑球，先摸出1只球，记下颜色后放回口袋，然后再摸出1只球，则“两次摸出的球颜色不相同”的概率是▲．8．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的对角线AC1的长为，且AC1与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积为▲．9．某医院有内科医生5名，外科医生6名，现要派4名医生参加赈灾医疗队，如果要求内科医生和外科医生中都有人参加，则有▲种选法（用数字作答）．10．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列命题：①若∥，，，则∥；②若∥，m^，n∥，则^；③若^，m^，n^，则m^n；④若^，m^，n∥，则∥．12\n上面命题中，所有真命题的序号为▲．1．过椭圆的焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，若AB=，则双曲线的离心率为▲．2．已知圆和圆有两个不同的公共点，则实数a的取值范围是▲．3．定义函数（K为给定常数），已知函数，若对于任意的，恒有，则实数K的取值范围为▲．4．在下图中，从第2行起，除首末两个位置外，每个位置上的数都等于它肩上的两个数的和，最初几行是：第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051……则第▲行中有三个连续位置上的数之比是3︰4︰5．二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）FEDCBA（第15题）15．（本小题满分14分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB=2，且F是CD的中点．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；（3）求四面体BCEF的体积．12\n16．（本小题满分14分）已知点M到双曲线的左、右焦点的距离之比为2︰3．（1）求点M的轨迹方程；（2）若点M的轨迹上有且仅有三个点到直线y=x+m的距离为4，求实数m的值．17．（本小题满分14分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=2，A1A=2，点F是棱BC的中点，点E在棱C1D1上，且D1E=λEC1（λ为实数）．（1）求二面角D1-AC-D的余弦值；（2）当λ=时，求直线EF与平面D1AC所成角的正弦值的大小；（第17题）（3）求证：直线与直线不可能垂直．18．（本小题满分16分）有两枚均匀的硬币和一枚不均匀的硬币，其中不均匀的硬币抛掷后出现正面的概率为．小华先抛掷这三枚硬币，然后小红再抛掷这三枚硬币．（1）求小华抛得一个正面两个反面且小红抛得两个正面一个反面的概率；（2）若用表示小华抛得正面的个数，求的分布列和数学期望；（3）求小华和小红抛得正面个数相同（包括0个）的概率．12\n19．（本小题满分16分）已知函数．（1）若函数的图象在点处的切线方程为，求实数，的值；（2）若，求的单调减区间；（3）对一切实数aÎ(0,1)，求f(x)的极小值的最大值．20．（本小题满分16分）如图，点A（-a，0），B（，）是椭圆上的两点，直线AB与y轴交于点C（0，1）．（1）求椭圆的方程；（2）过点C任意作一条直线PQ与椭圆相交于P，Q，求PQ的取值范围．（第20题）2022～2022学年苏州市高二期末调研测试数学Ⅰ（理科）参考答案2022．612\n一、填空题1．，2．x=-13．-14．必要不充分5．6．（-∞，3）7．8．29．31010．②③11．12．或13．14．62GFEDCBA二、解答题15．证明：（1）取EC中点G，连BG，GF．∵F是CD的中点，∴FG∥DE，且FG=DE．又∵AB∥DE，且AB=DE．∴四边形ABGF为平行四边形．………3分∴AF∥BG．又BG平面BCE，AF平面BCE．（条件每少一个扣1分，最多扣2分）∴AF∥平面BCE．…………5分（2）∵AB^平面ACD，AF平面ACD，∴AB^AF．∵AB∥DE，∴AF^DE．…………6分又∵△ACD为正三角形，∴AF^CD．…………7分∵BG∥AF，∴BG^DE，BG^CD．…………8分∵CD∩DE=D，∴BG^平面CDE． …………9分（直接用AF∥BG，AF^平面CDE，而得到BG^平面CDE．扣1分）∵BG平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE；……………11分（3）四面体BCEF的体积．……………14分12\n16．解：（1）双曲线的左、右焦点为，．………1分设点，则，即．……………3分化简得点M的轨迹方程为．……………7分（2）点M的轨迹方程即为，它表示以为圆心，12为半径的圆．……………9分因为圆上有且仅有三点到直线y=x+m的距离为4，所以圆心到直线y=x+m的距离为8，即．……………12分解得．……………14分17．解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系．（第17题）AEBCDFA1B1C1D1则，．…………2分设平面的法向量为，则．即．令，则．∴平面的一个法向量．……4分又平面的一个法向量为．故，即二面角的余弦值为．………6分（2）当λ=时，E（0，1，2），F（1，4，0），．所以．……………9分因为，所以为锐角，从而直线EF与平面所成角的正弦值的大小为．……………10分12\n（3）假设，则．∵，∴，．……………12分∴．化简得．该方程无解，所以假设不成立，即直线不可能与直线不可能垂直．……14分18．解：（1）设A表示事件“小华抛得一个正面两个反面”，B表示事件“小红抛得两个正面一个反面”，则P（A）=，…………2分P（B）=，…………4分则小华抛得一个正面两个反面且小红抛得两个正面一个反面的概率为P（AB）=P（A）P（B）=．…………6分（2）由题意的取值为0，1，2，3，且；；；．所求随机变量的分布列为0123P…………10分数学期望．…………12分（3）设C表示事件“小华和小红抛得正面个数相同”，则所求概率为．所以“小华和小红抛得正面个数相同”的概率为．…………16分12\n19．解：（1），…………1分由，得a=5．…………2分∴．则．则（2，3）在直线上．∴b=-15．…………4分（2）①若，，∴的单调减区间为（1，+∞）．…………6分②若，则令，得．∴，或x˃1．…………9分∴的单调减区间为，（1，+∞）．…………10分（3），0˂a˂1，列表：（-∞，1）1（1，）（，+∞）+0-0+↗极大值↘极小值↗…………12分∴f(x)的极小值为．…………14分当时，函数f(x)的极小值f()取得最大值为．…………16分12\n20．解：（1）由B（，），C（0，1），得直线BC方程为．…………2分令y=0，得x=-2，∴a=2．…………3分将B（，）代入椭圆方程，得．∴b2=2．椭圆方程为．…………5分（2）①当PQ与x轴垂直时，PQ=；…………6分②当PQ与x轴不垂直时，不妨设直线PQ：y=kx+1（k≥0），代入椭圆方程x2+2y2-4=0，得x2+2(kx+1)2-4=0．即(2k2+1)x2+4kx-2=0．…………8分设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则．则|x1-x2|=．PQ=．…………10分=．…………12分∵，在k=时取等号，…………14分∴PQ2=Î（8，9]．则PQÎ．…………15分由①，②得PQ的取值范围是．…………16分12\n数学Ⅱ（理科附加题）参考答案A1证明：如图，连结，CDBAPEF∵AB=AC，AD是BC边的中线，∴是此等腰三角形的一条对称轴．∴．…………2分∵BF∥AC，ÐF=ÐACP．∴ÐF=ÐABP．…………5分又，∴∽．…………8分所以，即．∵BP=CP，∴CP2=PE·PF．………10分A2证明：（1）连结．∵为切线，DBCAFE∴ÐFAB=ÐACB．…………2分∵，，∴．∴．…………5分（2）∵，，∴四点共圆．则．又，∴．则DE∥AF．……………8分∴，即．………10分B1解：由题设得．…………2分设直线上任意一点在矩阵对应的变换作用下变为，则．…………5分即，∴…………8分∵点在直线上，∴，即．∴曲线的方程为．…………10分B2解：（1）由题意得．…………2分12\n即，∴则．…………5分（2）由（1）得矩阵M，矩阵M的特征多项式为，矩阵M的另一个特征值是1．代入二元一次方程组，解得，于是M的属于特征值1的一个特征向量为．…………8分∴α=．∴M10α=M10．…………10分C1解：圆的直角坐标方程为，即．…………2分圆心，直线的直角坐标方程为．…………5分所以过点与直线垂直的直线的方程为．…………8分化为极坐标方程得，即．…………10分C2解：（1）直线的普通方程，椭圆的普通方程为；……………………2分（2）设椭圆上一点的坐标为，∵m˃2，∴点到直线的距离．∴．……………………5分∵椭圆上有且只有1个点到直线的距离为2，∴关于的方程在上有且只有一个解．∴或．……………………8分12\n若，满足，此时，点的坐标是；若，不合题意．综上，实数的值为，该点的坐标为．……………10分D1证明：（1）当时，因为，，即n=2时不等式成立；………2分（2）假设n=k（）时不等式成立，即有，则当时，………5分．………8分即当时，不等式也成立．综合（1）（2）可知，原不等式成立．………10分D2（1）证明：由柯西不等式得…………2分．∵，∴．……………………5分（2）解：由（1）得．当m≥2时，m+m-2≤36，∴m≤19；当时，m+2-m≤36，恒成立；当m≤0时，-m+2-m≤36，∴m≥-17．……………………8分综上，实数的取值范围是[-17，19]．……………………10分12
