高二下学期期末模拟考试数学（理）试题时间：120分钟满分：160分注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含填空题(第1题～第14题，共14题)、解答题(第15题～第20题，共6题)两部分．考试结束后，只要将答题纸交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔填写在答题纸上．3．答题时，必须用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效．4．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．1．设，则的虚部是▲．2．若事件、相互独立，且，，则等于▲．3．设＝(x，4，3)，＝(3，2，z)，且则xz的值为▲．4．的展开式中，常数项为▲（用数字作答）5．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为▲．6．计算=▲．7．已知则▲．8．在处的切线方程是▲．9．某班学生考试成绩统计如下：数学不及格的占，语文不及格的占，两门都不及格的占．已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是▲．9\n10．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是▲．11．已知复数，其中实数满足方程，则▲．12．已知随机变量的分布列为012340．10．20．40．20．1则随机变量的方差为▲．二、解答题:本大题共6小题，共90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（本大题14分）已知．（Ⅰ）求展开式中的常数项；（Ⅱ）求展开式中的二项式系数最大的项．16．（本大题14分）一袋中有m(m∈N*)个红球，3个黑球和2个白球，现从中任取2个球．（Ⅰ）当m=4时，求取出的2个球颜色相同的概率；（Ⅱ）当m=3时，设ξ表示取出的2个球中黑球的个数，求ξ的概率分布列及数学期望；（Ⅲ）如果取出的2个球颜色不相同的概率小于，求m的最小值．9\n18．（本大题16分）某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，(＞)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为ξ0123(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(Ⅱ)求，的值；(Ⅲ)求数学期望ξ．19．（本大题16分）9\n自然状态下的鱼类是一种再生的资源．为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用表示某鱼群在第年年初的总量，，且．不考虑其它因素，设在第年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与成正比，死亡量与成正比，这些比例系数依次为正常数．(Ⅰ)使用表示；(Ⅱ)当，，时，对任意的，猜想（，）的范围，并用数学归纳法证明。20．（本题满分16分）设函数．(Ⅰ)当方程只有一个实数解时，求实数的取值范围；(Ⅱ)当时，求过点作曲线的切线的方程；(Ⅲ)若＞0且当时，恒有，求实数的取值范围．9\n数学（理科）参考答案一、填空题1、2、0.23、94、6725、486、7、8、9、0.210、4811、12、1.213、14、二、解答题16解：（I）设“取出的2个球颜色相同”为事件AP(A)=……………………………………4分(II)ξ012P…………7分Eξ=0×+1×+2×=………………………………………9分（III）设“取出的2个球中颜色不相同”为事件B，则P(B)=………………………11分∴x2-6x+2>0∴x>3+或x<3-，x的最小值为6．………………………14分17解：平面ABCD，9\n又由平面几何知识得OD=OC=1，BO=AO=2.以O为原点，OA，OB，OP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C（—1，0，0），D（0，—1，0），P（0，0，）.………………………2分（I），，，故直线PD与BC所成的角的余弦值为.…………6分18解：事件表示“该生第门课程取得优秀成绩”，=1,2,3，由题意知，，（I）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是，……………………4分（II）由题意知9\n……6分…………………8分整理得，由，可得，.……………………………………………10分（III）由题意知=…………………………………………………………12分=…………………………………………………………14分=……………………………………………………………16分19解：（I）从第年初到第年初，鱼群的繁殖量为，被捕捞量为，死亡量为，因此，，即，；………………………………………………4分（II）当，，时，由（1）得：则。由于，所以，，由于，所以……………………6分猜想：……………………8分证明：①当时，结论显然成立．……………………………………………………………9分②假设当时，结论成立，即．…………………………10分则当时，．由归纳假设9\n则故当时，结论成立．………………………………………14分由（1）、（2）命题对一切的自然数成立。………………………………16分（Ⅱ）当时，，，设切点为，切线方程设为，即.将原点代入，得，解得.…………………8分因此过作曲线的切线的方程为.……………………１０分（Ⅲ）由因为.所以在和内单调递减，在内单调递增.……………1２分（1）当，即时，在区间上是增函数，.9\n无解.……………………………13分9
