2022-2022学年江苏省盐城市高一（下）期末数学试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．直线y=x﹣3的倾斜角为 ．2．函数y=2sin（πx+）的最小正周期是 ．3．已知圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面积为 ．4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn=﹣n2+4n，则其公差d= ．5．若向量=（2，m），=（1，），且与垂直，则实数m的值为 ．6．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V1，四棱锥A1﹣BCC1B1的体积为V2，则= ．7．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，终边过点P（﹣1，3），则cos2α的值为 ．8．设{an}是等比数列，若a1+a2+a3=7，a2+a3+a4=14，则a4+a5+a6= ．9．设l，m，n是空间三条不同的直线，α，β是空间两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若l与m异面，m∥n，则l与n异面；②若l∥α，α∥β，则l∥β；③若α⊥β，l⊥α，m⊥β，则l⊥m；④若m∥α，m∥n，则n∥α．其中正确命题的序号有 ．（请将你认为正确命题的序号都填上）10．求值：= ．11．在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA+cosA=2，a=3，C=，则b= ．12．已知点A（2，4），B（6，﹣4），点P在直线3x﹣4y+3=0上，若满足PA2+PB2=λ的点P有且仅有1个，则实数λ的值为 ．13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=5，A、B是圆C上的两个动点，AB=2，则的取值范围为 ．13/1414．在数列{an}中，设ai=2m（i∈N*，3m﹣2≤i＜3m+1，m∈N*），Si=ai+ai+3+ai+6+ai+9+ai+12，则满足Si∈[1000，3000]的i的值为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．设函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A，ω，ϕ为常数，且A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π）的部分图象如图所示．（1）求A，ω，ϕ的值；（2）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围．16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1⊥底面ABC，CA=CB，D，E，F分别为AB，A1D，A1C的中点，点G在AA1上，且A1D⊥EG．（1）求证：CD∥平面EFG；（2）求证：A1D⊥平面EFG．17．如图，在四边形ABCD中，△ABC是边长为6的正三角形，设（x，y∈R）．（1）若x=y=1，求||；（2）若=36，=54，求x，y．18．如图所示，∠PAQ是村里一个小湖的一角，其中∠13/14PAQ=60°．为了给村民营造丰富的休闲环境，村委会决定在直线湖岸AP与AQ上分别建观光长廊AB与AC，其中AB是宽长廊，造价是800元/米；AC是窄长廊，造价是400元/米；两段长廊的总造价预算为12万元（恰好都用完）；同时，在线段BC上靠近点B的三等分点D处建一个表演舞台，并建水上通道AD（表演舞台的大小忽略不计），水上通道的造价是600元/米．（1）若规划宽长廊AB与窄长廊AC的长度相等，则水上通道AD的总造价需多少万元？（2）如何设计才能使得水上通道AD的总造价最低？最低总造价是多少万元？19．已知圆M的圆心为M（﹣1，2），直线y=x+4被圆M截得的弦长为，点P在直线l：y=x﹣1上．（1）求圆M的标准方程；（2）设点Q在圆M上，且满足=4，求点P的坐标；（3）设半径为5的圆N与圆M相离，过点P分别作圆M与圆N的切线，切点分别为A，B，若对任意的点P，都有PA=PB成立，求圆心N的坐标．20．设{an}是公比为正整数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1a2a3=64，b1+b2+b3=﹣42，6a1+b1=2a3+b3=0．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）设pn=，数列{pn}的前n项和为Sn．①试求最小的正整数n0，使得当n≥n0时，都有S2n＞0成立；②是否存在正整数m，n（m＜n），使得Sm=Sn成立？若存在，请求出所有满足条件的m，n；若不存在，请说明理由． 13/142022-2022学年江苏省盐城市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．直线y=x﹣3的倾斜角为 45° ．【考点】直线的倾斜角．【分析】先求出直线的斜率，再求倾斜角．【解答】解：∵直线y=x﹣3的斜率k=1，∴直线y=x﹣3的倾斜角α=45°．故答案为：45°． 2．函数y=2sin（πx+）的最小正周期是 2 ．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，得出结论．【解答】解：函数y=2sin（πx+）的最小正周期是=2，故答案为：2． 3．已知圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面积为 3π ．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可．【解答】解：∵圆锥的底面半径为1，高为2，∴母线长为：=3，∴圆锥的侧面积为：πrl=π×1×3=3π，故答案为：3π． 4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn=﹣n2+4n，则其公差d= 1 ．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由Sn=﹣n2+4n，可得a1=S1=3，a1+a2=4，分别解得a1，a2．即可得出．【解答】解：∵Sn=﹣n2+4n，∴a1=S1=3，a1+a2=﹣22+8，解得a1=3，a2=4．∴公差d=a2﹣a1=1．故答案为：1． 5．若向量=（2，m），=（1，），且与垂直，则实数m的值为 0 ．【考点】平面向量的坐标运算．13/14【分析】根据平面向量的坐标表示与运算，列出方程，求解即可．【解答】解：向量=（2，m），=（1，），∴=（3，m+），=（1，m﹣）；又（）⊥（），∴（+）•（﹣）=3×1+（m+）（m﹣）=0，解得m=0．故答案为：0． 6．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V1，四棱锥A1﹣BCC1B1的体积为V2，则= ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积为S，高为h，则V1=Sh，三棱锥A1﹣ABC的体积为Sh，可得四棱锥A1﹣BCC1B1的体积为V2=Sh，即可得出结论．【解答】解：设三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积为S，高为h，则V1=Sh，三棱锥A1﹣ABC的体积为Sh，∴四棱锥A1﹣BCC1B1的体积为V2=Sh，∴V2=V1，∴=．故答案为：． 7．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，终边过点P（﹣1，3），则cos2α的值为 ﹣ ．【考点】二倍角的余弦；任意角的三角函数的定义．13/14【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值，再利用二倍角公式求得cos2α的值．【解答】解：∵角α的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，终边过点P（﹣1，3），∴cosα==﹣则cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣，故答案为：﹣． 8．设{an}是等比数列，若a1+a2+a3=7，a2+a3+a4=14，则a4+a5+a6= 56 ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】已知等式利用等比数列的通项公式变形，求出公比q的值，原式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：∵{an}是等比数列，a1+a2+a3=7，a2+a3+a4=14，∴（a1+a2+a3）q=14，即q=2，则a4+a5+a6=（a1+a2+a3）q3=56，故答案为：56． 9．设l，m，n是空间三条不同的直线，α，β是空间两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若l与m异面，m∥n，则l与n异面；②若l∥α，α∥β，则l∥β；③若α⊥β，l⊥α，m⊥β，则l⊥m；④若m∥α，m∥n，则n∥α．其中正确命题的序号有 ③ ．（请将你认为正确命题的序号都填上）【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系，对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①若l与m异面，m∥n，则l与n异面或相交，故不正确；②若l∥α，α∥β，则l∥β或l⊂β，故不正确；③若α⊥β，l⊥α，m⊥β，利用正方体模型，可得l⊥m，正确；④若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故不正确．故答案为：③． 10．求值：= 4 ．【考点】三角函数的化简求值．【分析】先通分，然后利用辅助角公式结合两角和差的余弦公式进行化简即可．【解答】解：===4•==4，13/14故答案为：4 11．在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA+cosA=2，a=3，C=，则b= ．【考点】正弦定理；三角函数的化简求值．【分析】sinA+cosA=2，化为2sin（A+）=2，解得A，再利用正弦定理即可得出．【解答】解：∵sinA+cosA=2，∴2sin（A+）=2，即sin（A+）=1，∵A∈，∴（A+）∈，∴A+=，解得A=．∴B=﹣=，在△ABC中，则b===．故答案为：． 12．已知点A（2，4），B（6，﹣4），点P在直线3x﹣4y+3=0上，若满足PA2+PB2=λ的点P有且仅有1个，则实数λ的值为 58 ．【考点】两点间的距离公式．【分析】根据点P在直线3x﹣4y+3=0上，设出点P的坐标，代人PA2+PB2=λ中，化简并令△=0，从而求出λ的值．【解答】解：由点P在直线3x﹣4y+3=0上，设P（x，），又PA2+PB2=λ，∴[（x﹣2）2+]+[（x﹣6）2+]=λ，化简得x2﹣x+﹣λ=0，根据题意△=﹣4××（﹣λ）=0，解得λ=58．故答案为：58． 13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=5，A、B是圆C上的两个动点，AB=2，则的取值范围为 [8﹣4，8+4] ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据圆的半径和余弦定理求出cos∠ACB=，根据勾股定理求出CD，∠COD=θ，0≤θ≤π，利用向量的加减的几何意义和向量的数量积的运算，得到13/14=+•（+）+，代值，根据余弦函数的性质计算即可．【解答】解：∵圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=5，∴CA=CB=，由余弦定理可得cos∠ACB===，设D为AB的中点，∴CD==2，设∠COD=θ，0≤θ≤π，∴﹣1≤cosθ≤1，∵+=2∴=（+）•（+）=+•（+）+=5+2•+×=8+2××2•cosθ=8+4cosθ，∴的取值范围为[8﹣4，8+4]，故答案为：[8﹣4，8+4]． 14．在数列{an}中，设ai=2m（i∈N*，3m﹣2≤i＜3m+1，m∈N*），Si=ai+ai+3+ai+6+ai+9+ai+12，则满足Si∈[1000，3000]的i的值为 2 ．【考点】数列的求和．【分析】根据数列通项公式得出Si关于m的表达式，利用Si的范围得出m的值，从而得出i的值．【解答】解：∵3m﹣2≤i＜3m+1，∴3（m+1）﹣2≤i+3＜3（m+1）+1，∴ai+3=2m+1，同理可得：ai+6=2m+2，ai+9=2m+3，ai+12=2m+4．∴Si=2m+2m+1+2m+2+2m+3+2m+4=（1+2+4+8+16）2m=31•2m．∴1000≤31•2m≤3000．∴≤2m≤，∵m∈N*，∴2m=64．∴m=6．13/14∵3×2﹣2≤6＜3×2+1，∴i=2．故答案为：2． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．设函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A，ω，ϕ为常数，且A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π）的部分图象如图所示．（1）求A，ω，ϕ的值；（2）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围．【解答】解：（1）根据函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A，ω，ϕ为常数，且A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π）的部分图象，可得A=，•=﹣=，∴ω=2．再根据五点法作图，可得2•+φ=π，∴φ=，f（x）=sin（2x+）．（2）当x∈[0，]时，2x+∈[，]，sin（2x+）∈[﹣1]，∴f（x）∈[﹣，]． 16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1⊥底面ABC，CA=CB，D，E，F分别为AB，A1D，A1C的中点，点G在AA1上，且A1D⊥EG．（1）求证：CD∥平面EFG；（2）求证：A1D⊥平面EFG．13/14【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）利用三角形的中位线的性质，证明EF∥CD，利用线面平行的判定定理证明：CD∥平面EFG；（2）利用等腰三角形三线合一证明CD⊥AB，利用平面与平面垂直的性质证明CD⊥A1D，利用线面垂直的判定定理证明：A1D⊥平面EFG．【解答】证明：（1）∵E，F分别为A1D，A1C的中点，∴EF∥CD，∵CD⊄平面EFG，EF⊂平面EFG，∴CD∥平面EFG；（2）∵CA=CB，D为AB的中点，∴CD⊥AB，∵侧面ABB1A1⊥底面ABC，侧面ABB1A1∩底面ABC=AB，∴CD⊥侧面ABB1A1，∴CD⊥A1D，∵EF∥CD，∴A1D⊥EF，∵A1D⊥EG，EF∩EG=E，∴A1D⊥平面EFG． 17．如图，在四边形ABCD中，△ABC是边长为6的正三角形，设（x，y∈R）．（1）若x=y=1，求||；（2）若=36，=54，求x，y．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．【分析】（1）x，y=1时，根据向量加法的平行四边形法则，以及等边三角形的中线也是高线便可求出BD的长度，即求出的值；13/14（2）可设BD=d，∠DBC=θ，根据条件及向量数量积的计算公式便可得出不等式组，解该不等式组可求出d的大小，然后对两边平方即可得出①；再根据该问的条件可得到方程x﹣y=1②，这样两式联立即可求出x，y的值．【解答】解：（1）如图，若x=y=1，则；∴BD过AC的中点E，且BD=2BE=；即；（2）设∠DBC=θ，则∠DBA=60°﹣θ，设BD=d；∴由，得：；解得，cos，d=；∴；即84=36x2+36xy+36y2，整理得，①；且；∴=18x﹣18y=18；∴x﹣y=1②；①②联立得，（舍去），x=． 18．如图所示，∠PAQ是村里一个小湖的一角，其中∠PAQ=60°．为了给村民营造丰富的休闲环境，村委会决定在直线湖岸AP与AQ上分别建观光长廊AB与AC，其中AB是宽长廊，造价是800元/米；AC是窄长廊，造价是400元/米；两段长廊的总造价预算为12万元（恰好都用完）；同时，在线段BC上靠近点B的三等分点D处建一个表演舞台，并建水上通道AD（表演舞台的大小忽略不计），水上通道的造价是600元/米．（1）若规划宽长廊AB与窄长廊AC的长度相等，则水上通道AD的总造价需多少万元？（2）如何设计才能使得水上通道AD的总造价最低？最低总造价是多少万元？13/14【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）设AB=AC=x（单位：百米），由题意可得12x=12，即x=1，求得BD=，在△ABD中，由余弦定理求得AD的长，即可得到所求造价；（2）设AB=x，AC=y（单位：百米），则两段长廊的总造价为8x+4y=12，即2x+y=3，y=3﹣2x，运用余弦定理求得BC，再在△ABC与△ABD中，由余弦定理及cos∠ABC=cos∠ABD，求得AD2的解析式，化简整理，运用配方，即可得到所求最小值，及x，y的值．【解答】解：（1）设AB=AC=x（单位：百米），则宽长廊造价为8x万元，窄长廊造价为4x万元，故两段长廊的总造价为12x万元，所以12x=12，得x=1，又∠PAQ=60°，△ABC是边长为1的正三角形，又点D为线段BC上靠近点B的三等分点，所以BD=，在△ABD中，由余弦定理得AD2=BA2+BD2﹣2BA•BD•cos∠ABD=1+﹣2××=，即AD=．又水上通道的造价是6万元/百米，所以水上通道的总造价为2万元．（2）设AB=x，AC=y（单位：百米），则两段长廊的总造价为8x+4y=12，即2x+y=3，在△ABC中，由余弦定理得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠BAC=x2+y2﹣2xy•=x2+y2﹣xy，在△ABC与△ABD中，由余弦定理及cos∠ABC=cos∠ABD，得=，又BC=3BD，得AD2=x2+y2+xy=x2+（3﹣2x）2+x（3﹣2x）=x2﹣x+1=（x﹣）2+，当且仅当x=时，AD有最小值，故总造价有最小值3万元，此时y=，即当宽长廊AB为百米（75米）、窄长廊AC为百米时，水上通道AD有最低总造价为3万元． 13/1419．已知圆M的圆心为M（﹣1，2），直线y=x+4被圆M截得的弦长为，点P在直线l：y=x﹣1上．（1）求圆M的标准方程；（2）设点Q在圆M上，且满足=4，求点P的坐标；（3）设半径为5的圆N与圆M相离，过点P分别作圆M与圆N的切线，切点分别为A，B，若对任意的点P，都有PA=PB成立，求圆心N的坐标．【考点】圆方程的综合应用．【分析】（1）求出M到直线y=x+4的距离，利用垂径定理计算圆M的半径，得出圆M的标准方程；（2）由|MQ|=1可知|MP|=4，利用两点间的距离公式列方程解出P点坐标；（3）由切线的性质可知PA2=PM2﹣1，PB2=PN2﹣5．设N（m，n），P（x，x﹣1），列出方程，令关于x的方程恒成立得出m，n．【解答】解：（1）点M到直线y=x+4的距离d==．∴圆M的半径r==1．∴圆M的标准方程为：（x+1）2+（y﹣2）2=1．（2）∵点Q在圆M上，∴||=1．∴||=4||=4．设P（a，b）则，解得或．∴点P坐标为（﹣1．﹣2）或（3，2）．（3）设N（m，n），P（x，x﹣1），∵PA，PB分别与圆M，圆N相切，∴PA2=PM2﹣1，PB2=PN2﹣5．∵对任意点P，都有PA=PB，∴（x+1）2+（x﹣3）2﹣1=（x﹣m）2+（x﹣1﹣n）2﹣25恒成立．整理得：2（m+n﹣1）x+33﹣m2﹣n2﹣2n=0恒成立．∴，解得或．∴N（5，﹣4）或N（﹣3，4）． 20．设{an}是公比为正整数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1a2a3=64，b1+b2+b3=﹣42，6a1+b1=2a3+b3=0．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）设pn=，数列{pn}的前n项和为Sn．①试求最小的正整数n0，使得当n≥n0时，都有S2n＞0成立；②是否存在正整数m，n（m＜n），使得Sm=Sn成立？若存在，请求出所有满足条件的m，n；若不存在，请说明理由．【考点】等比数列的前n项和．13/14【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（2）①pn=，可得数列{pn}的前2n项和S2n=（a1+a3+…+a2n﹣1）+（b2+b4+…+b2n）=﹣﹣2n2﹣12n．n=1，2，3时，S2n＜0．n≥4时，都有S2n＞0．即可得出．②由S1=2，S2=﹣12，S3=﹣4，S4=﹣22，S5=10，S6=﹣12，S7=116．由①可知：使得当n≥4时，都有S2n＞0成立，而an=2n＞0．因此n≥8时，都有Sn＞0，且Sn单调递增．即可得出．【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q＞0，等差数列{bn}的公差为d，∵a1a2a3=64，b1+b2+b3=﹣42，6a1+b1=2a3+b3=0．∴=64，3b2=﹣42，+b2﹣d=2a2q+b2+d=0，联立解得a2=4，b2=﹣14，q=2，d=﹣2．∴an==4×2n﹣2=2n，bn=b2+（n﹣2）d=﹣14﹣2（n﹣2）=﹣2n﹣10．（2）①∵pn=，数列{pn}的前2n项和S2n=（a1+a3+…+a2n﹣1）+（b2+b4+…+b2n）=﹣14n+=﹣﹣2n2﹣12n．n=1，2，3时，S2n＜0．n≥4时，都有S2n＞0．∴最小的正整数n0=4，使得当n≥n0时，都有S2n＞0成立．②由S1=2，S2=﹣12，S3=﹣12+23=﹣4，S4=﹣22，S5=﹣22+25=10，S6=﹣12，S7=﹣12+27=116．由①可知：使得当n≥4时，都有S2n＞0成立，而an=2n＞0．因此n≥8时，都有Sn＞0，且Sn单调递增．假设存在正整数m，n（m＜n），使得Sm=Sn成立，则取m=2，n=6时，Sm=Sn=﹣12成立，由n≥8时，都有Sn＞0，且Sn单调递增，S8=90．因此Sm=Sn不可能成立．综上可得：只有m=2，n=6时，使得Sm=Sn成立． 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