泰州市2022届高三第一次模拟考试数学试题(考试时间：120分钟总分：160分)注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．（参考公式：，）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1.已知，，则▲．2.函数的最小正周期为▲．3.复数满足（是虚数单位），则▲．4.函数的定义域为▲．5.执行如右图所示的流程图，则输出的为▲．6.若数据的方差为，则▲．7.袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为▲．8.等比数列中，，，则数列的前项和为▲．9.已知函数是奇函数，则▲．10.双曲线的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率▲．11.若是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为▲．（写出所有真命题的序号） ①若直线，则在平面内，一定不存在与直线平行的直线．②若直线，则在平面内，一定存在无数条直线与直线垂直．③若直线，则在平面内，不一定存在与直线垂直的直线．-14-\n④若直线，则在平面内，一定存在与直线垂直的直线．12.已知实数满足，，则的取值范围为▲．13.在中，角所对的边分别为，若且，则面积的最大值为▲．14.在梯形中，，，为梯形所在平面上一点，且满足=0，，为边上的一个动点，则的最小值为▲．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.（本题满分14分）在平面直角坐标系中，角的终边经过点．（１）求的值；（２）若关于轴的对称点为，求的值．16.（本题满分14分）如图，在多面体中，四边形是菱形，相交于点，，，平面平面，，点为的中点．（1）求证：直线平面；（2）求证：直线平面．17.（本题满分14分）如图，我市有一个健身公园，由一个直径为2km的半圆和一个以-14-\n为斜边的等腰直角三角形构成，其中为的中点．现准备在公园里建设一条四边形健康跑道，按实际需要，四边形的两个顶点分别在线段上，另外两个顶点在半圆上，，且间的距离为1km．设四边形的周长为km．（1）若分别为的中点，求长；（2）求周长的最大值．18.（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆的左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于两点，直线分别与轴交于两点．若直线斜率为时，．（1）求椭圆的标准方程；（2）试问以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结论．19.（（本题满分16分）数列，，满足：，，．（1）若数列是等差数列，求证：数列是等差数列；（2）若数列，都是等差数列，求证：数列从第二项起为等差数列；（3）若数列是等差数列，试判断当时，数列-14-\n是否成等差数列？证明你的结论．20.（本题满分16分）已知函数，．(1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；(2)若直线是函数图象的切线，求的最小值；(3)当时，若与的图象有两个交点，求证：．（取为，取为，取为）泰州市2022届高三第一次模拟考试数学试题(附加题)(考试时间：30分钟总分：40分)21.（［选做题］请考生在A、B、C、D四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分．A．（本小题满分10分，几何证明选讲）如图，与圆相切于点，是的中点，过点引圆的割线，与圆相交于点，连结．求证：．B．（本小题满分10分，矩阵与变换）已知矩阵，，若矩阵对应的变换把直线变为直线，求直线的方程．C．（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）-14-\n己知在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）．以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为，直线与圆相交于两点，求弦的长．D．（本小题满分10分，不等式选讲）已知正实数满足，求证：．［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（(本小题满分10分)如图，在长方体中，，，与相交于点，点在线段上（点与点不重合）．(1)若异面直线与所成角的余弦值为，求的长度;(2)若，求平面与平面所成角的正弦值．23.（(本小题满分10分)记为从个不同的元素中取出个元素的所有组合的个数．随机变量表示满足的二元数组中的，其中，每一个（0,1,2,…,）都等可能出现．求．-14-\n泰州市2022届高三第一次模拟考试数学参考答案一、填空题1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．；8．；9．； 10．；11．②④；12．；13．；14．二、解答题15.解：（１）∵角的终边经过点，∴，……………4分∴．……………7分（２）∵关于轴的对称点为，∴．………………………………9分∴，∴． ……………１４分16.证明（1）∵四边形是菱形，，∴点是的中点，∵点为的中点∴，………………3分又∵平面，平面，∴直线平面．………７分（２）∵，点为的中点,∴,∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，………………9分∵平面∴,∵，，∴，∴四边形为平行四边形,∴，………………11分-14-\n∵，，∴，∵四边形是菱形，∴，∵，，，在平面内，∴平面． ………………1４分17.（１）解：连结并延长分别交于，连结，∵分别为的中点，，∴，为等腰直角三角形，为斜边，，．∵，∴．………………3分在中，，∴，∴． ……………6分（２）解法１ 设，．在中，，∴，．∵，∴，∴，……………………………………………………8分∴………………10分，（当或时取等号）∴当或时，周长的最大值为． …………………14分解法２ 以为原点，为轴建立平面直角坐标系．设，，，，-14-\n∴，，．……………………………8分∴ ………………………10分，（当，或，时取等号）∴当，或，时，周长的最大值为．……………１４分18.解：（1）设，∵直线斜率为时，，∴，∴…………３分∴，∵，∴．∴椭圆的标准方程为．………………６分（２）以为直径的圆过定点．设，则，且，即，∵，∴直线方程为：，∴，直线方程为：，∴，………………９分以为直径的圆为即，………………12分-14-\n∵，∴，令，，解得，∴以为直径的圆过定点．………………16分19．证明：（１）设数列的公差为，∵，∴，∴数列是公差为的等差数列． ………………４分（２）当时，，∵，∴，∴，∴，∵数列，都是等差数列，∴为常数，∴数列从第二项起为等差数列． ………………１０分（３）数列成等差数列． 解法１ 设数列的公差为，∵，∴，∴，…，，∴， 设，∴，两式相减得：，即，∴，-14-\n∴，∴， ………………１２分令，得，∵，∴，∴，∴，∴，∴数列（）是公差为的等差数列， ………………１４分∵，令，，即，∴数列是公差为的等差数列． ………………１６分解法2 ∵，，令，，即，………………１２分∴，，∴，∵数列是等差数列，∴，∴， ………………１４分∵，∴，∴数列是等差数列． ………………１６分20.解：（1）,则，∵在上单调递增，∴对，都有，即对，都有，∵，∴，-14-\n故实数的取值范围是．………………4分(2)设切点，则切线方程为，即，亦即，令，由题意得，……７分令，则，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，∴，故的最小值为．………………１０分（3）由题意知，，两式相加得，两式相减得，即，∴，即， …………１２分不妨令，记，令，则，∴在上单调递增，则，∴，则，∴，-14-\n又，∴，即，令，则时，，∴在上单调递增，又，∴，则，即．………………１６分附加题参考答案21.A．证明：∵与相切于点．由切割线定理：．∵是的中点，∴．∴．………………５分∴．∵∴∴……１０分21.B.解：∵，∴，∴, ………………５分设直线上任意一点在矩阵对应的变换下为点，∴．代入，，化简后得：． ………………１０分21.C.解：圆：，直线：，………………5分圆心到直线的距离，弦长．………１０分21.D.证明：∵正实数满足，-14-\n∴，∴，………………5分∴．………………１０分22.解：（1）以为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意，知,，，，.设，∴，.设异面直线与所成角为，则，化简得：,解得：或，或． ………………5分（2）∵，∴，,，,，设平面的一个法向量为，∴，∴，即，取，，设平面的一个法向量为，∴，∴，即，取，，设平面与平面所成角为，-14-\n∴，∴． ………………１０分23.解：∵，当时，，，，，∴当时，的解为． ………………3分当，，由可知：当时，成立，当时，（等号不同时成立），即．……………6分０１２３４５６７８９１０…………………………………………8分∴． ………………………………………10分-14-
