江苏省扬州中学2022～2022学年第二学期开学检测高三数学卷注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1．已知集合，，则▲．2．复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为▲．（第3题图）结束开始输出SYN3．右图是一个算法的流程图，则最后输出的▲．4．从1,3,5,7这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的和小于9的概率是▲．5．已知样本的平均数是5,则此样本的方差为▲．6．已知函数的最小正周期为π，则f(x)在上的单调递增区间为，，则实数▲．7．已知体积相等的正方体和球的表面积分别为，，则的值是▲．8.抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于▲．9．已知，则的最小值为▲．10．在平面直角坐标系中，若曲线(为常数)在点处的切线与直线垂直，则的值为▲．11．设等差数列的前项和为，且满足（）则=___▲___．12．已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，．若关于的方程恰有10个不同实数解，则的取值范围为___▲．-15-\n13．在直角中，，斜边上有异于端点两点的两点，且，则的取值范围是▲．14．已知三个正数满足，，则的最小值是▲．二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（本小题满分14分）设平面向量＝，，，．（1）若，求的值；（2）若，求函数的最大值，并求出相应的值．16（本小题满分14分）如图，在三棱柱中，为棱的中点，，.求证：(1)平面；(2)∥平面.17（本小题满分14分）如图，椭圆和圆，已知椭圆过点，焦距为2.-15-\n(1)求椭圆的方程；(2)椭圆的下顶点为，过坐标原点且与坐标轴不重合的任意直线与圆相交于点，直线与椭圆的另一个交点分别是点.设的斜率为，直线斜率为，求的值.18（本小题满分16分）在距A城市45千米的B地发现金属矿，过A有一直线铁路AD．欲运物资于A，B之间，拟在铁路线AD间的某一点C处筑一公路到B．现测得千米，（如图）．已知公路运费是铁路运费的2倍，设铁路运费为每千米1个单位，总运费为．为了求总运费的最小值，现提供两种方案：方案一：设千米；方案二设．（1）试将分别表示为、的函数关系式、；（2）请选择一种方案，求出总运费的最小值，并指出C点的位置．19（本小题满分16分）已知数列、满足，，其中，则称为的“生成数列”．（1）若数列的“生成数列”是，求；（2）若为偶数，且的“生成数列”是，证明：的“生成数列”是；（3）若为奇数，且的“生成数列”是，的“生成数列”是，…，依次将数列，，，…的第项取出，构成数列．-15-\n探究：数列是否为等比数列，并说明理由．20（本小题满分16分）已知函数，．（1）记,求在的最大值；（2）记，令，，当时，若函数的3个极值点为，（ⅰ）求证：；（ⅱ）讨论函数的单调区间（用表示单调区间）．高三第二学期期初联考数学附加题(考试时间：30分钟总分：40分)21.（［选做题］请考生在A、B、C、D四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分．A．（本小题满分10分，几何证明选讲）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：AD·DE＝2PB2.B．（本小题满分10分，矩阵与变换）-15-\n设矩阵，，若，求矩阵M的特征值．C．（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）在平面直角坐标系xOy中，已知直线的参数方程为：(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．直线与圆相交于A，B两点，求线段AB的长．D．（本小题满分10分，不等式选讲）已知实数满足，求的最小值.［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝1，AD＝，E为线段PD上一点，记．当时，二面角的平面角的余弦值为．（1）求AB的长；（2）当时，求直线BP与直线CE所成角的余弦值．23.（本小题满分10分)已知数列通项公式为，其中为常数，且，-15-\n．等式，其中为实常数．（1）若，求的值；（2）若，且，求实数的值．高三第二学期期初联考数学参考答案一、填空题1．；2．4；3．9；4．；5．2；6．；7．；8．；9．；10．；11．3；12．；13．；14．．二、解答题15．解：（1）若，则，………2分即………4分所以.………6分（2）若则………10分………12分所以.………14分-15-\n16．证明：（1）因为，所以，所以；………3分又因为，得，所以.………6分又，所以平面；………8分（2）连接交与点，连接，在中，分别为的中点，所以，又，所以∥平面．………14分17．解：（1）解法一：将点代入椭圆方程，解方程组，求得，所以椭圆的方程为．………4分解法二：由椭圆的定义求得，所以椭圆的方程为．………4分说明：计算错全错.（2）由题意知直线的斜率存在且不为0，，不妨设直线的斜率为，则，-15-\n由得或.………6分用去代，得，………8分则………10分由得或.………12分则，所以．………14分评讲建议：此题还可以求证直线恒过定点，求面积的最大值.18.解：(1)在中，由余弦定理解得AD=63………2分方案一：在中，………5分方案二：在中，，，………9分(2)若用方案一，则………11分由得-15-\n………14分，这时，C距A地千米………16分若用方案二，则………11分在，在………14分这时，C距A地千米………16分19．（1）解：，同理，.………4分（写对一个得1分，总分4分）（2）证明：………7分∵为偶数，将上述个等式中第2，4，6，…，这个式子两边取倒数，再将这个式子相乘得：∴………9分因为，所以根据“生成数列”的定义，数列是数列的“生成数列”.………10分（3）证明：因为，-15-\n所以.所以欲证成等差数列，只需证明成等差数列即可.………12分对于数列及其“生成数列”∵为奇数，将上述个等式中第2，4，6，…，这个式子两边取倒数，再将这个式子相乘得：∴因为，数列的“生成数列”为，因为所以成对比数列.同理可证，也成等比数列.即是等比数列.所以成等差数列.………16分20.解：（1）（）………2分令，得，-15-\n………3分列表如下：－0＋递减极小值递增易知而所以当时，当时，………5分（2）（ⅰ），令，又在上单调减，在上单调增，所以因为函数有3个极值点，所以所以………7分所以当时，，从而函数的3个极值点中，有一个为，有一个小于，有一个大于1………9分又，所以，，即，，故………11分（ⅱ）当时，，，则，故函数单调减；当时，，，则，故函数单调增；-15-\n当时，，，则，故函数单调减；当时，，，则，故函数单调减；当时，，，则，故函数单调增；综上，函数的单调递增区间是，单调递减区间是。………16分（列表说明也可）注意：各题如有其他不同的解法，请对照以上答案相应给分．\高三第二学期期初联考数学附加题参考答案21.［选做题］A．（本小题满分10分，几何证明选讲）证明：由切割线定理得PA2＝PB·PC.因为PC＝2PA，D为PC的中点，所以DC＝2PB，BD＝PB.………5分由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.………10分B．（本小题满分10分，矩阵与变换）解：；………5分矩阵M的特征值为或5.………10分C．（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）-15-\n解：直线的普通方程为：；………2分圆C的普通方程为：；………4分圆心C到直线的距离为：；………7分所以AB=.………10分D．（本小题满分10分，不等式选讲）解：由柯西不等式，，………4分所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为．………10分［必做题］22.（本小题满分10分)解：(1)因为PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，则D(0，2，0)，E，.设B(m，0，0)(m>0)，则C(m，2，0)，＝(m，2，0)．设n1＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，则即可取n1＝．………3分又n2＝(1，0，0)为平面DAE的法向量，………4分由题设易知|cos〈n1，n2〉|＝，即，解得m＝1.即AB=1.………6分（2）易得-15-\n，所以直线BP与直线CE所成角的余弦值为.………10分23.（本小题满分10分)23．（1）比较可知；………2分而时,………3分所以，设，也可以写成，相加得即，所以．………5分（2）当时，，结合（2）中结论可知②=，即-15-\n③，………8分因为②为关于的递增的式子，所以关于的方程最多只有一解，而观察③可知，有一解，综上可知：．………10分-15-
