江苏省四校2022-2022学年高二数学上学期期中联测试题一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．)1.命题“”的否定形式为___________________.2.曲线在处的切线方程是__________.3.以双曲线的右焦点为焦点的抛物线标准方程为___________.4.已知函数，则.5.的____________.（从“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”选出恰当的形式填空）6.过点的直线l与圆交于A,B两点,当最小时,直线l的方程为_________________.7.设P是直线上的一个动点，过P作圆的两条切线，若的最大值为60°，则b=．8.已知圆的圆心是双曲线的一个焦点，则此双曲线的渐近线方程为_____________.9.已知命题，命题，若命题是真命题，则实数的取值范围为_____________.10.函数的图像在点处的切线方程是，则等于_________.11.已知是椭圆上的动点，是椭圆的两个焦点，则的取值范围是___________.12.已知直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，则直线的方程为_______________.13.设，则的最小值为___________.14.已知椭圆的短轴长为2，离心率为，设过右焦点的直线-23-\n与椭圆交于不同的两点，过作直线的垂线，垂足分别为，记，若直线的斜率，则的取值范围为___________.二、解答题(本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15.（本小题满分14分）（1）求以椭圆的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点的双曲线标准方程.（2）已知抛物线的焦点在轴上，点是抛物线上的一点，M到焦点的距离为5，求抛物线的标准方程.16.（本小题满分14分）已知为实数，点在圆的内部；都有.（1）若为真命题，求的取值范围；（2）若为假命题，求的取值范围；（3）若为假命题，且为真命题，求的取值范围．-23-\n17.（本小题满分15分）已知曲线（1）若，过点的直线交曲线于两点，且，求直线的方程；（2）若曲线表示圆，且直线与圆相交于两点，是否存在实数，使得以为直径的圆过原点，若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由。18.（本小题满分15分）(1)设，若，求在点处的切线方程；(2)若存在过点的直线与曲线和都相切，求的值.19.（本小题满分16分）-23-\n平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆上一动点的直线，过与轴垂直的直线记为，右准线记为；设直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，证明恒为定值，并求此定值.若连接并延长与直线相交于点，椭圆的右顶点，设直线的斜率为，直线的斜率为，求的取值范围.20.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，直线与线段、分别交于点、.(Ⅰ)当时，求以为焦点，且过中点的椭圆的标准方程；(Ⅱ)过点作直线∥交于点，记的外接圆为圆.第20题PAROF1QxyF2①求证:圆心在定直线上；②圆是否恒过异于点的一个定点?若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由.高二数学上学期四校联测期中答案2022.11.16-23-\n一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．)1.命题“”的否定形式为___________________.答案：2.曲线在处的切线方程是__________.答案：3.以双曲线的右焦点为焦点的抛物线标准方程为___________.答案：4.已知函数，则.答案：5.的____________.（从“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”选出恰当的形式填空）答案：充分不必要条件6.过点的直线l与圆交于A,B两点,当最小时,直线l的方程为_________________.答案：7.设P是直线上的一个动点，过P作圆的两条切线，若的最大值为60°，则b=．答案：8.已知圆的圆心是双曲线的一个焦点，则此双曲线的渐近线方程为_____________.答案：9.已知命题，命题，若命题是真命题，则实数的取值范围为_____________.答案：10.函数的图像在点处的切线方程是，则等于_________.答案：2-23-\n7.已知是椭圆上的动点，是椭圆的两个焦点，则的取值范围是___________.答案：8.已知直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，则直线的方程为_______________.答案：13.设，则的最小值为___________.答案：14.已知椭圆的短轴长为2，离心率为，设过右焦点的直线与椭圆交于不同的两点，过作直线的垂线，垂足分别为，记，若直线的斜率，则的取值范围为___________.答案：二、解答题(本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15.（本小题满分14分）（1）求以椭圆的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点的双曲线标准方程.(8分）（2）已知抛物线的焦点在轴上，点是抛物线上的一点，M到焦点的距离为5，求抛物线的标准方程.（6分）解：（1）椭圆的焦点为，顶点为----------------4分双曲线的标准方程可设为由题意知-23-\n-----------------6分则双曲线的标准方程为------------------8分（2）由题意知，抛物线的标准方程可设为--------------10分------------------12分抛物线的标准方程为------------------------14分16.（本小题满分14分）已知为实数，点在圆的内部；都有.（1）若为真命题，求的取值范围；（2）若为假命题，求的取值范围；（3）若为假命题，且为真命题，求的取值范围．解：（1）为真命题解得------------4分（2）为真命题时，恒成立解得为假命题时，-----------8分（3）为假命题，且为真命题一真一假------------9分，则------------11分，则----------13分-----------14分17.（本小题满分15分）-23-\n已知曲线（1）若，过点的直线交曲线于两点，且，求直线的方程；（7分）（2）若曲线表示圆，且直线与圆相交于两点，是否存在实数，使得以为直径的圆过原点，若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由。（8分）解：(1)圆设圆心到直线的距离为则---------------2分若的斜率不存在，则符合题意；----------------4分若的斜率存在，设为，则即解得，可得------------6分综上，直线的方程为或.-------------7分（2）曲线表示圆且直线与圆相交-------------9分设过两点的圆的方程为----------------11分圆心在上，且过原点-23-\n-------------13分解得------------15分（法二）曲线表示圆且直线与圆相交-------------9分设A,B坐标，将直线与圆联立，消去y得到关于x的一元二次方程，得到韦达定理------11分利用向量数量积等于0，得到关于m的方程----------13分解得m的值-------------15分18.（本小题满分15分）(1)设，若，求在点处的切线方程；（5分）(2)若存在过点的直线与曲线和都相切，求的值.（10分）解：（1）因为--------------1分--------------3分-23-\n在点处的切线方程为---------------5分（2）设曲线的切点为，------------7分又该切线过点解得-------------9分1.当时，切点为，切线又直线与相切满足------------------12分2.当时，切点为，切线又直线与相切满足------------------15分综上19.（本小题满分16分）平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.-23-\n（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆上一动点的直线，过与轴垂直的直线记为，右准线记为；设直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，证明恒为定值，并求此定值.若连接并延长与直线相交于点，椭圆的右顶点，设直线的斜率为，直线的斜率为，求的取值范围.解：（1）由题意知2a=4，则a=2，由e==，求得c=1，------------2分b2=a2﹣c2=3∴椭圆C的标准方程为；-----------4分（2）①证明：直线l1：x=1，直线l2：x=4．把x=1代入直线1：+=1，解得----------6分把x=4代入直线1：+=1方程，解得y=，----------8分-23-\n∴--------10分②由，解得=3（1﹣）（﹣2≤x0＜2），x0≠﹣1．直线l1的方程为：x=1；直线l2的方程为：x=4．直线PF1的方程为：y﹣0=（x+1），令x=4，可得yQ=．点Q，∵，k2=，----------12分∴k1•k2==．-------13分∵点P在椭圆C上，∴，∴k1•k2==．∵﹣1＜x0＜2，∴∈（，+∞），∴k1•k2＜﹣．∴k1•k2的取值范围是k1k2∈（﹣∞，﹣）．---------16分20.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，直线与线段、分别交于点、.-23-\n(Ⅰ)当时，求以为焦点，且过中点的椭圆的标准方程；(Ⅱ)过点作直线∥交于点，记的外接圆为圆.①求证:圆心在定直线上；第20题PAROF1QxyF2②圆是否恒过异于点的一个定点?若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由.【解】:(Ⅰ)设椭圆的方程为,当时,PQ的中点为(0,3),所以b=3……………3分而,所以，故椭圆的标准方程为…………………5分(Ⅱ)①解法一:易得直线,所以可得,再由∥,得……………8分则线段的中垂线方程为,线段的中垂线方程为,由,解得的外接圆的圆心坐标为………10分经验证,该圆心在定直线上……………………………11分解法二:易得直线,所以可得,再由∥,得………………………8分设的外接圆的方程为,则,解得…10分所以圆心坐标为,经验证,该圆心在定直线上…11分-23-\n②由①可得圆C的方程为………13分该方程可整理为,则由,解得或,所以圆恒过异于点的一个定点,该点坐标为………………16分高二数学上学期四校联测期中试卷2022.11.16一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．)1.命题“”的否定形式为___________________.答案：2.曲线在处的切线方程是__________.答案：3.以双曲线的右焦点为焦点的抛物线标准方程为___________.答案：4.已知函数，则.答案：5.的____________.（从“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”选出恰当的形式填空）答案：充分不必要条件6.过点的直线l与圆交于A,B两点,当最小时,直线l的方程为_________________.答案：7.设P是直线上的一个动点，过P作圆的两条切线，若的最大值为60°，则b=．答案：8.已知圆的圆心是双曲线-23-\n的一个焦点，则此双曲线的渐近线方程为_____________.答案：7.已知命题，命题，若命题是真命题，则实数的取值范围为_____________.答案：8.函数的图像在点处的切线方程是，则等于_________.答案：29.已知是椭圆上的动点，是椭圆的两个焦点，则的取值范围是___________.答案：10.已知直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，则直线的方程为_______________.答案：13.设，则的最小值为___________.答案：14.已知椭圆的短轴长为2，离心率为，设过右焦点的直线与椭圆交于不同的两点，过作直线的垂线，垂足分别为，记，若直线的斜率，则的取值范围为___________.答案：二、解答题(本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15.（本小题满分14分）-23-\n（1）求以椭圆的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点的双曲线标准方程.（2）已知抛物线的焦点在轴上，点是抛物线上的一点，M到焦点的距离为5，求抛物线的标准方程.解：（1）椭圆的焦点为，顶点为双曲线的标准方程可设为由题意知则双曲线的标准方程为（2）由题意知，抛物线的标准方程可设为抛物线的标准方程为16.（本小题满分14分）已知为实数，点在圆的内部；都有.（1）若为真命题，求的取值范围；（2）若为假命题，求的取值范围；（3）若为假命题，且为真命题，求的取值范围．解：（1）为真命题解得15.为真命题时，恒成立解得为假命题时，16.为假命题，且为真命题-23-\n一真一假，则，则17.（本小题满分15分）已知曲线（2）若，过点的直线交曲线于两点，且，求直线的方程；（3）若曲线表示圆，且直线与圆相交于两点，是否存在实数，使得以为直径的圆过原点，若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由。解：(1)圆设圆心到直线的距离为则若的斜率不存在，则符合题意；若的斜率存在，设为，则即解得，可得综上，直线的方程为或.（2）曲线表示圆设过两点的圆的方程为-23-\n圆心在上，且过原点解得（2）（本小题满分15分）(1)设，若，求在点处的切线方程；(2)若存在过点的直线与曲线和都相切，求的值.解：（1）因为在点处的切线方程为（2）设曲线的切点为，又该切线过点解得1.当时，切点为，切线-23-\n又直线与相切满足2.当时，切点为，切线又直线与相切满足综上18.（本小题满分16分）平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.19.求椭圆的方程；20.过椭圆上一动点的直线，过与轴垂直的直线记为，右准线记为；设直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，证明恒为定值，并求此定值.若连接并延长与直线相交于点，椭圆的右顶点，设直线的斜率为，直线的斜率为，求的取值范围.【考点】椭圆的简单性质．-23-\n【分析】（1）以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点E在椭圆C上．可得|EF1|+|EF2|=3+1=2a，解得a=2．又e==，a2=b2+c2，解得c，b2，即可得到椭圆C的方程；（2）①直线l1：x=1，直线l2：x=4．把x=1代入直线1，解得y，可得M坐标．同理可得N坐标．又=，利用两点之间的距离公式可得=为定值．②由由，解得=．直线l1的方程为：x=1；直线l2的方程为：x=4．直线PF1的方程为：y﹣0=（x+1），由于﹣1＜x0＜2，可得∈（，+∞），即可得出k1k2，利用函数的性质即可得出．【解答】解：（1）由题意知2a=4，则a=2，由e==，求得c=1，b2=a2﹣c2=3∴椭圆C的标准方程为；（2）①证明：直线l1：x=1，直线l2：x=4．把x=1代入直线1：+=1，解得y=，∴M，把x=4代入直线1：+=1方程，解得y=，∴N，∴②由，解得=3（1﹣）（﹣2≤x0＜2），x0≠﹣1．-23-\n直线l1的方程为：x=1；直线l2的方程为：x=4．直线PF1的方程为：y﹣0=（x+1），令x=4，可得yQ═．点Q，∵，k2=，∴k1•k2==．∵点P在椭圆C上，∴，∴k1•k2==．∵﹣1＜x0＜2，∴∈（，+∞），∴k1•k2＜﹣．∴k1•k2的取值范围是k1k2∈（﹣∞，﹣）．20.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，直线与线段、分别交于点、.(Ⅰ)当时，求以为焦点，且过中点的椭圆的标准方程；(Ⅱ)过点作直线∥交于点，记的外接圆为圆.①求证:圆心在定直线上；第20题PAROF1QxyF2②圆是否恒过异于点的一个定点?若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由.-23-\n【解】:(Ⅰ)设椭圆的方程为,当时,PQ的中点为(0,3),所以b=3……………3分而,所以，故椭圆的标准方程为…………………5分(Ⅱ)①解法一:易得直线,所以可得,再由∥,得……………8分则线段的中垂线方程为,线段的中垂线方程为,由,解得的外接圆的圆心坐标为………10分经验证,该圆心在定直线上……………………………11分解法二:易得直线,所以可得,再由∥,得………………………8分设的外接圆的方程为,则,解得…10分所以圆心坐标为,经验证,该圆心在定直线上…11分②由①可得圆C的方程为………13分该方程可整理为,则由,解得或,-23-\n所以圆恒过异于点的一个定点,该点坐标为………………16分-23-
