江苏省南通市合作盟校2022届高三考前全真模拟密卷数学卷6一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸的相应位置上．1．若全集，集合，则集合=．789944467136第3题2．已知复数，则“”是“为纯虚数”的条件．（填写“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中的一个）3．如图是青年歌手大奖赛上9名评委给某位选手打分的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为．4．若为等差数列，是其前n项的和，且＝，则的值为．5．如图所示程序框图中，输出的数是．6．已知，若，则正数的值等于．7．已知正六棱锥的底面边长为1cm，侧面积为，则该棱锥的体积为．8．投掷两颗骰子得到其向上的点数分别为，设，则满足的概率为．9．函数为奇函数，该函数的部分图像如右图所示，分别为最高与最低点，并且两点间的距离为，则该函数在区间上的对称轴为．10．已知椭圆的一个焦点为，若椭圆上存在点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段相切于线段的中点，则该椭圆的离心率为__________．11．已知不等式≤，若对任意且，该不等式恒成立，则实数的取值范围是．12．已知线段，动点满足，则线段11长的范围是．13．如图，一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边长为2，高为1，将此钢板切割成等腰梯形的形状，则切割后所得到的梯形的面积的最大值为．14．已知，且，，则的值等于．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）设是单位圆和轴正半轴的交点，、是单位圆上两点，是坐标原点，且，．（1）若点的坐标是，求的值；（2）设函数，求的值域．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱中．（1）若，，证明：平面平面；（2）设是的中点，是上的点，且平面，求的值．1117．（本小题满分14分）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x(x∈)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元(a＞0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：－y＋3＋＝0和圆：＋＋8x＋F＝0．若直线l被圆截得的弦长为．（1）求圆的方程；（2）设圆和x轴相交于A，B两点，点P为圆上不同于A，B的任意一点，直线PA，PB交y轴于M，N两点．当点P变化时，以MN为直径的圆是否经过圆内一定点？请证明你的结论；（3）若△RST的顶点R在直线x＝－1上，点S，T在圆上，且直线RS过圆心，∠SRT＝，求点R的纵坐标的范围．1119．（本小题满分16分）已知数列的首项为，前项和为，且有，．（1）求数列的通项公式；（2）当时，若对任意，都有，求的取值范围；（3）当时，若，求能够使数列为等比数列的所有数对．20．（本小题满分16分）若函数．（1）当，时，若函数的图像与轴所有交点的横坐标的和与积分别为．(ⅰ)求证：的图像与轴恰有两个交点．（ⅱ）求证：．（2）当时，设函数有零点，求的最小值．附加题1．（本小题满分10分）已知矩阵=，求的特征值，及对应的特征向量．112．（本小题满分10分）已知曲线C的极坐标方程为，是曲线上的动点．以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（t为参数），求点到直线距离的最小值．3．（本小题满分10分）在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题．规定每位考生必须且只须在其中选做一题．设4名考生选做每一道题的概率均为．（1）求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；（2）设这4名考生中选做第22题的学生个数为，求的概率分布及数学期望．114．（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在原点，焦点的坐标为．（1）求抛物线的标准方程；（2）设是抛物线的准线上的两个动点，且它们的纵坐标之积为，直线,与抛物线的交点分别为点，求证：动直线恒过一个定点．参考答案1、；2、充分不必要；3、87；4、；5、16；6、；7、；8、；9、或；10、；11、；12、；13、；14、21115．解：（1）由已知可得．所以7分（2）（1）若、在轴一侧．．因为，则，所以．故的值域是．（2）若、在轴两侧．12分．因为，则，所以．故的值域是．14分16．解：（1）因为，所以侧面是菱形，所以．又因为，且，所以平面，又平面，所以平面平面．7分（2）设交于点，连结，则平面平面=，因为平面，平面，所以．又因为，所以．14分17．（1）由题意，得10(1000－x)(1＋0.2x%)≥10×1000，（4分）即－500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500．即最多调整500名员工从事第三产业．（6分）（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总利润为万元，则≤，（10分）所以ax－≤1000＋2x－x－，所以ax≤＋1000＋x，即a≤＋＋1恒成立．（12分）11因为＋≥＝4，当且仅当＝，即x＝500时等号成立，所以a≤5，又a＞0，所以0＜a≤5．所以a的取值范围为(0，．（14分）18．（1）圆：＋＝16－F．由题意，可得＋＝16－F，所以F＝12，所以圆的方程为＋＝4．（4分）（2）设P(，)(≠0)，则＋＝4．又A(－6，0)，B(－2，0)，所以：y＝(x＋6)，M(0，)，：y＝(x＋1)，N(0，)．（6分）圆的方程为＋＝．化简得＋－(＋)y－12＝0，令y＝0，得x＝（9分）又点(，0)在圆内，所以当点P变化时，以MN为直径的圆经过圆内一定点(，0)．（10分）（3）设R(－1，t)，作⊥RT于H，设＝d，由于∠＝，所以＝2d．由题意d≤2，所以≤4，即≤4，所以≤t≤．所以点A的纵坐标的范围为[，]．（16分）19．解：（1）当时，由解得，当时，，所以，即，又因为，综上，有，所以是首项为11，公比为的等比数列，所以．4分（2）当时，，此时为等差数列；当时，为单调递增数列，且对任意，恒成立，不合题意；6分当时，为单调递减数列，由题意知得，且有，解得．综上的取值范围是．10分（3）因为，，所以，由题设知为等比数列，所以有，解得，即满足条件的数对是．16分（或通过的前3项成等比数列先求出数对，再进行证明）20．解:（1）(ⅰ)因为，所以是使取得最小值的唯一的值，且在区间上，函数单调递减；在区间上，函数单调递增；．所以的图像与轴恰有两个交点．4分（ⅱ）设是方程的两个根，则有因式，且可令，于是有①得，解得，所以；11分别比较①式中含和的项的系数，得②③由②③得8分（2）方程化为：，令，方程为，，设，．10分当，即时，只需，此时；当，即时，只需，此时；当，即时，只需或，此时．的最小值为．16分附加题1．解：矩阵的特征多项式为==……………………………2分令=0，得到矩阵的特征值为1=3，2=．………………4分当1=3时，由=3，得，∴，取，得到属于特征值3的一个特征向量=；……………………7分当2=时，由=，得，取，则，得到属于特征值的一个特征向量=………………10分2．解:因为所以所以曲线C的直角坐标方程为即4分又直线的参数方程为11所以直线的普通方程为8分所以点到直线距离的最小值为10分3．解：（1）设事件表示“甲选做第21题”，事件表示“乙选做第21题”，则“甲选做第22题”为，“甲选做第22题”为，进而可得，甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“”，且事件、相互独立．∴；4分（2）随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4，且ξ～．∴变量ξ的分布列为：01234．10分4．解：：（1）设抛物线的标准方程为，则，，所以抛物线C的标准方程为．2分（2）抛物线的准线方程为，设，，其中则直线的方程为：，将与联立方程，解得A点的坐标为，同理可得B点的坐标为则直线AB的方程为：，整理，得由，解得，故动直线AB恒过一个定点（1，0）．10分11
