蕉岭中学2022-2022学年第一学期高二级第一次质检理科数学试题第一部分选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，则（）A.B.C.D.2．在△ABC中，已知内角成等差数列，则角B为：（）A．B．C．D．3．某学校高一年级共有480名学生，为了调查高一学生的数学成绩，计划用系统抽样的方法抽取30名学生作为调查对象：将480名学生随机从1～480编号，按编号顺序平均分成30组(1～16号，17～32号，…，465～480号)，若从第1组中用抽签法确定的号码为5，则第8组中被抽中学生的号码是( )A.25B.133 C.117D.884．在三角形ABC中，如果，那么A等于（ ）A． B． C．D．5．《张丘建算经》是我国北魏时期数学家张丘建所著，现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算，各种等差数列问题的解决、某些不定方程问题求解等。“《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第二天起，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则从第二起每天比前一天多织（ ）尺布。A．B．C．D．6.已知向量，若，那么=：（ ）A.—2B.—1C.1D.27．已知直线过点且与点，等距离，则直线的方程为（）A．B．-8-C．或D．或8．涂老师将5个不同颜色的球分给甲、乙、丙、丁、戊五位同学，每人分得1个，则事件“甲分得红色球”与“乙分得红色球”是( )A.对立事件B.不可能事件C.互斥但不对立事件D.不是互斥事件9．有如下四个游戏盘，撒一粒黄豆，若落在阴影部分，则可以中奖，小明希望中奖，则他应该选择的游戏是（）10．如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内实数的取值范围为（）A. B. C. D.11.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．设x、y、z为正数，且，则（）A．2x<3y<5zB．5z<2x<3yC．3y<5z<2xD．3y<2x<5z第二部分非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷相应题号的位置上.13.若cosα＝，且α是第四象限角，则cos＝________.14.已知为等差数列，若，，则________：15.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是________．16.已知是锐角三角形的外接圆的圆心，且若-8-，则.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程，把答案填在答卷相应题号的位置上．17．（本题满分10分）已知等差数列的前项和为,.（1）求数列的通项公式;（2）当为何值时,取得最大值.18.（本题满分12分）已知是三内角的对边，且（1）求角B的大小（2）若，且的面积为，求（i）周长；（ii）AC边的中线BD的长度。19．（本题满分12分）已知圆M的方程为x2＋(y－2)2＝1，直线l的方程为x－2y＝0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B.(1)若∠APB＝60°，试求点P的坐标；(2)若点P的坐标为(2,1)，过P作直线与圆M交于C，D两点，当CD＝时，求直线CD的方程．20．（本题满分12分）在“魅力红谷滩”才艺展示评比中，参赛选手成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的损坏，可见部分如图所示．（1）根据图中信息，将图乙中的频率分布直方图补充完整；（2）根据频率分布直方图估计选手成绩的平均值（同一组数据用该区间的中点值作代表）；-8-（3）从成绩在[80，100]的选手中任选2人进行PK，求至少有1人成绩在[90，100]的概率．21．（本题满分12分）在如右图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.１!!(1)求证：BD⊥平面AED；(2)求二面角FBDC的余弦值．22．（本题满分12分）已知函数，，其中且，.（I）若，且时，的最小值是－2,求实数的值；（II）若，且时，有恒成立，求实数的取值范围.-8-蕉岭中学高二年级第一次质检理科数学试题参考答案一选择题BBCCDBDCACCD二填空题13、14.12.15.216.三、解答题（共6个小题，共70分）1７.解:（1），……３分 解得.…………４分．……５分（2）……………７分．……９分Ｎ,当或时,取得最大值6.…1０分(2)解法二：由………8分解得:…………9分Ｎ当或时,取得最大值6.…………10分18.解：（1）由正弦定理：…………1分∵∴…………3分又∵，∴又∵，所以…………5分（2）由余弦定理：(1)…………7分由三角形面积公式：…………8分-8-即(2)由（1）（2）所以三角形周长为：…9分在中分别使用余弦定理：（3）（4）又因为，（3）+（4）得所以…………12分19．解：(1)设P(2m，m)，由题可知MP＝2，所以(2m)2＋(m－2)2＝4，解得m＝0或m＝，故所求点P的坐标为P(0,0)或P.…………6分(2)由题意易知k存在，设直线CD的方程为y－1＝k(x－2)，由题知圆心M到直线CD的距离为，所以＝，解得k＝－1或k＝－，故所求直线CD的方程为：x＋y－3＝0或x＋7y－9＝0.…………12分20．（1）由题图甲的茎叶图知，成绩在的人数为1，设参赛选手总人数为n，则∴………2分由题图乙的频率分布直方图知，成绩在[90，100]的人数为可得频率分布表如下所示．成绩分组频数137842频率0.040.120.280.320.160.08所以，补全后的频率分布直方图如图所示．-8-………5分（2）平均值=．…8分（3）成绩在[80，100]的选手共有6人，记成绩在的4位选手为，成绩在的2位选手为，则任选2人的所有可能情况为共15种可能，其中至少有1人成绩在[90，100]有9种可能，故所求概率为．12分21．解：(1)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，所以∠ADC＝∠BCD＝120°.又CB＝CD，所以∠CDB＝30°，因此∠ADB＝90°，即AD⊥BD.又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD⊂平面AED，所以BD⊥平面AED.………6分(2)如图，取BD的中点G，连接CG，FG，由于CB＝CD，因此CG⊥BD，又FC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以FC⊥BD.由于FC∩CG＝C，FC，CG⊂平面FCG，所以BD⊥平面FCG，故BD⊥FG，所以∠FGC为二面角FBDC的平面角．在等腰三角形BCD中，由于∠BCD＝120°，因此CG＝CB.又CB＝CF，所以GF＝＝CG，-8-故cos∠FGC＝，因此二面角FBDC的余弦值为.…………12分22．【解析】（I）∵，∴，．．．．．．．．．．．．．．2分易证在上单调递减，在上单调递增，且，∴，，．．．．．．．．．．．．．．4分∴当时，，由，解得（舍去）当时，，由，解得.．．．．．．．．．．6分综上知实数的值是.．．．．．．．．．．．．．．7分（II）∵恒成立，即恒成立，∴.又∵，，∴，∴恒成立，∴.．．．．．．．．．．．．．．10分令，∴.故实数的取值范围为.．．．．．．．．．．．．．．12分-8-
