湛江一中2022—2022学年度第一学期第一次考试高二级文科数学试卷考试时间：120分钟满分：150分一、选择题。（共12题，每道题5分，12*5=60）1．若集合A，，则（）A．B．C．D．2．数列的一个通项公式是（）A．B．C．D．3.已知△ABC中,a=4,b=4,A=30°,则角B的度数等于( )A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°4．不等式组表示的平面区域是（）5．已知,则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．6．在和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积（）A．8B．±8C．16D．±167．已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若cosB＝，b＝2，sinC＝2sinA，则△ABC的面积为( )A.B.C.D.8．已知点（3，1）和（-4，6）在直线的两侧，则的取值范围是（）-7-\nA.B.C.D.9．已知数列为等比数列，若，则的值为（）A．B．C．D．10．某人要制作一个三角形，要求它的三边的长度分别为3,4,6，则此人（ ）A．不能作出这样的三角形B．能作出一个锐角三角形C．能作出一个直角三角形D．能作出一个钝角三角形11.等差数列{an}的前n项和为Sn(n=1,2,3,…),当首项a1和公差d变化时,若a5+a8+a11是一个定值,则下列各数中为定值的是( )A.S17B.S18C.S15D.S1612．若数列的通项公式分别是，，且对任意恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题。（共4题，每道题5分,4*5=20）13．若a＞b＞0,则比较，的大小是__________________________．14．，则的形状是____________________．15．若变量x，y满足约束条件则z＝x－2y的最大值为________．16．已知函数的图象如图，则满足的的取值范围．-7-\n三、解答题。（共6题，共70分）17.(本小题满分10分)已知{an}为等差数列，前n项和为Sn,S5=S6且a3=-6.(1)求数列{an}的通项公式.(2)若等比数列{bn}满足b2=6,6b1+b3=-5a3,求{bn}的前n项和Tn.18．(本小题满分12分)在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A.(1)求cosA的值；(2)求c的值．19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2－bx＋1.(1)求实数a，b使不等式f(x)<0的解集是{x|3<x<4}；(2)若a为整数，b＝a＋2，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，求a的值．20．(本小题满分12分)数列{an}满足a1＝1，＝＋1，n∈N*.(1)求数列的通项公式；(2)设bn＝3n·，求数列{bn}的前n项和Sn.21．(本小题满分12分)如图，A、C两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A岛出发，以10海里/小时的速度，沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B处.然后以同样的速度，沿北偏东15°方向直线航行，下午4时到达C岛.-7-\n（1）求A、C两岛之间的直线距离；（2）求∠BAC的正弦值.22、(本小题满分12分)数列首项，前项和与之间满足（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式；（3）设存在正数，使对于一切都成立，求的最大值．湛江一中2022—2022学年度第一学期第一次考试高二级文科数学答案一、选择题（满分60）123456789101112ACDCCABCCDCC二、填空题（满分20）13．＞14．等腰三角形15．316．三、解答题（满分70）17.（10分）(1)由已知可得a6=0，∴……….3分解得d=2，a1=-10,……….4分∴an=2n-12.……….5分-7-\n(2)设{bn}的公比为q,又-5a3=30,由题设得解得或……….8分当b1=3，q=2时,Tn=3(2n-1),………9分当b1=2,q=3时,Tn=3n-1.……….10分18．(12分)(1)由正弦定理得：＝，……….3分解得cosA＝.……….4分(2)由cosA＝⇒sinA＝，……….5分又∠B＝2∠A，∴cosB＝2cos2A－1＝.∴sinB＝，……….8分sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝.….10分∴c＝＝5.……….12分（用余弦定理的请酌情给分）19．(12分) (1)∵不等式ax2－bx＋1<0的解集是{x|3<x<4}，∴方程ax2－bx＋1＝0的两根是3和4，……….2分∴解得a＝，b＝.……….6分(2)∵b＝a＋2，∴f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1.……….7分∵Δ＝(a＋2)2－4a＝a2＋4>0，∴函数f(x)＝ax2－bx＋1必有两个零点．……….8分又函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，∴f(－2)·f(－1)<0，∴(6a＋5)(2a＋3)<0，……….10分解得－<a<－.∵a∈Z，∴a＝－1.……….12分20．(本小题12分)(1)解：由已知可得－＝1，……….2分所以是以＝1为首项，1为公差的等差数列．得＝1＋(n－1)·1＝n，所以an＝n2，………4分-7-\n(2)由(1)得an＝n2，从而bn＝n·3n……….5分Sn＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n·3n①3Sn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1②①－②得：－2Sn＝31＋32＋33＋…＋3n－n·3n＋1＝－n·3n＋1＝……….10分所以Sn＝……….12分21、（12分）解：（Ⅰ）在△ABC中，由已知，AB＝10×5＝50，BC＝10×3＝30，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°………………………2分据余弦定理，得，所以AC＝70.………………5分故A、C两岛之间的直线距离是70海里.…………6分（Ⅱ）在△ABC中，据正弦定理，得，………………8分所以.……………11分故∠BAC的正弦值是.…………………12分22、（本小题12分）（1）因为时，…………1分得…………2分由题意又是以为首项，为公差的等差数列．……4分（2）由（1）有……5分时，．………6分-7-\n又…………7分（3）设…………8分则………9分在上递增故使恒成立只需又又，所以，的最大值是．…………12分-7-
