湛江一中2022届高三年级5月模拟考试数学（理）试题第I卷（共70分）一、选择题：本大题共8小题。每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，且，则实数的取值范围是A．B．C．D．2．下面是关于复数的三个命题：在复平面内对应的点在第四象限是纯虚数其中的真命题为A．B．C．D．3．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A.B.C.D.4．的展开式中常数项为A．B．C．D．5．随机抽取某产品件，测得其长度分别为，如图所示的程序框图输出样本的平均值，则在处理框①中应填入的式子是（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）开始输入①输出s结束A．B．C．D．112112111正（主）视图侧（左）视图俯视图6．如图，某几何体三视图如图所示，，其中侧（左）视图由半圆与两线段组成，则该几何体的体积是A．B．C．D．7．已知等比数列中，，则其前项的和的取值范围是A．B．C．D．8．已知△ABC为等边三角形，，设点P，Q满足，，，若，则A． B． C． D．二、填空题，本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。（一）必做题（9-13题）90110周长(cm)频率/组距1001201300.010.020.04809．计算：÷____________．10．为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（如右），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是_______．11．将函数的图象上每一点向右平移个单位，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标保持不变），得函数的图象，则的一个解析式为__________________．1112．已知，满足，则的最小值是______________．13．已知，若关于的方程有实根，则的取值范围是____.（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）PTMAO题15图14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线截直线所得的弦长为．15．（几何证明选讲选做题）如图，为圆的切线，为切点，过圆心，，圆的面积为，则．三、解答题：（本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。）16．（本题满分12分）某中学号召本校学生在本学期参加市创办卫生城的相关活动，学校团委对该校学生是否关心创卫活动用简单抽样方法调查了位学生（关心与不关心的各一半），结果用二维等高条形图表示，如图．（1）完成列联表，并判断能否有℅的把握认为是否关心创卫活动与性别有关？0.100.050.012.7063.8416.635224252500女男不关心关心（参考数据与公式：；女男合计关心500不关心500合计5241000（2）已知校团委有青年志愿者100名，他们已参加活动的情况记录如下：参加活动次数123人数105040（i）从志愿者中任选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率；11（ii）从志愿者中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望．ABCD17．（本题满分12分）如图，在路边安装路灯，灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图阴影部分所示，已知，路宽，设灯柱高，.（1）求灯柱的高(用表示)；（2）若灯杆与灯柱所用材料相同，记所用材料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值．ABCDE18．（本题满分14分）如图，三棱锥中，是的中点，，，，，二面角的大小为．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．19．（本题满分14分）对数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，对自然数，规定为的阶差分数列，其中．（1）已知数列的通项公式，试判断，11是否为等差或等比数列，为什么？（2）若数列首项，且满足，求数列的通项公式。（3）对（2）中数列，是否存在等差数列，使得对一切自然都成立？若存在，求数列的通项公式；若不存在，则请说明理由。1P12-2Fxy20．（本题满分14分）已知动点到点的距离与到直线的距离之比为定值，记的轨迹为．（1）求的方程，并画出的简图；（2）点是圆上第一象限内的任意一点，过作圆的切线交轨迹于，两点．(i)证明：；（ii）求的最大值．21．(本小题满分14分)已知，函数，．（的图象连续不断）(1)求的单调区间；(2)当时，证明：存在，使；(3)若存在属于区间的，且，使，证明：．11湛江一中2022届高三年级5月模拟考试数学（理）参考答案第I卷（共70分）一、选择题：题号12345678答案BCABDACA二、填空题，本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。（一）必做题（9-13题）9．答：-2010．答：7011．答案:12．答：13．答：（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14．答：15．答：三、解答题：（本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。）16．解：（1）作出列联表：女男合计关心252248500不关心224276…………………………2分500合计4765241000由公式得………………4分所以不能有℅的把握认为是否关心创卫活动与性别有关．…………………5分（2）（i）他们参加活动次数恰好相等的概率为……………………7分(ii)从志愿者中任选两名学生,记“这两人中一人参加1次活动，另一个参加两次活动”为事件，“这两人中一人参加2次活动，另一个参加3次活动”为事件，“这两人中一人参加1次活动，另一个参加两次活动”，“这两人中一人参加1次活动，另一个参加3次活动”为事件．………………………………………8分……………………………9分…………………10分11分布列为０１２ABCD数学期望：………………12分17．解：（1）由已知得，…………………………..1分又，…………………………………………………..2分在中，………………………………………………...3分……………………………………………………....4分在中，………………………………………...5分即………………………………………………………………………….6分(2)在中，………………………………………………………………………………………….....8分则…………………...10分因，当时，取到最小值m…………………………………………………………...12分18．解：（1）取BD中点M，连结MA，MB………………………………...1分所以又，即………………………………...2分又即为的平面角……………………………..4分11所以ABCDEMxyz，平面………………………………………….....5分在中，，如图②，取AM中点O则知为正三角形，AMEO即………………………………...6分又平面………………………………...7分(2)解法一、向量法：建立如图直角坐标系M-xyz………………………………...8分，，，……，，……………………...9分设平面的法向量为，即有………………….10分得………………………………………………………………………...11分设直线与平面所成角为则…………………………………………………………...13分即直线与平面所成角的正弦值为．………………………………...14分解法二、几何法：提示：取AB中点N……19．解：（1），……...1分∴是首项为4，公差为2的等差数列。………………………………………...2分………………………………………….…...3分∴是首项为2，公差为0的等差数列；也是首项为2，公比为1的等比数列。……………………………………………………………………………………………..4分（2），即，即，∴………………………………...6分11∵，∴，，，猜想：………………………………........................................................................................7分证明：ⅰ）当时，；ⅱ）假设时，………………………………...8分时，结论也成立∴由ⅰ）、ⅱ）可知，………………………………...10分（3），即…………………………………………………………………….………...11分∵………………………………...…………………………………………………………13分∴存在等差数列，，使得对一切自然都成………………………………………………………………………………………………14分1P12-2FxyRQ20．解：（1）设，由题动点M满足：…………………………...1分其中：，…………………………...2分代入，化简得：C的图象是椭圆，如图所示．…………………………...4分（2）（i）设，则…………………………...5分…………………………...6分即……………………………………………………………....7分11(ii)解法一、设切线为，由题与圆相切，得，……………………………………………………………………………………...8分再由，得…………………………...9分…………………………...10分由（i）知，所以………………………………………………………………………..…...11分又…………………………………………………………...12分，当时，取最大值2…………………………..13分的最大值为2．…………………………...14分解法二、由（i）同理得，则又当过点时取最大值221．解:(Ⅰ)，．…………………………...2分令，则．…………………………...3分当变化时，，的变化情况如下表： 11 单调递增极大值单调递减所以的单调增区间是，单调减区间是．………………………………………………………………………………..…...4分(Ⅱ)当时，，由(Ⅰ)知，在单调递增，在单调递减．……………………...5分令．…………………………...6分由于在单调递增，则，因而．…………….7分取，则，…………………………...8分所以存在，使，即存在，使．……………………………………………………………………..……...9分(Ⅲ)由及的单调性知．………………...10分从而在区间上的最小值为．又由，，则 ．………………...11分所以………………..12分即…………………………...13分所以 ．…………………………...14分11
