深圳市高级中学2022－2022学年第一学期期中考试高二文科数学本试卷4页，22小题，全卷共计150分。考试时间为120分钟。注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x∈Rx2<3x}，B={x-1<x<2}，则A∪B=A．{x-1<x<0}B．{x-1<x<3}C．{x0<x<2}D．{x0<x<3}2．已知平面向量a=(1,2)，b=(-2,m)，且a//b，则2a+3b＝A．(-5,-10)B．(-4,-8)C．(-3,-6)D．(-2,-4)3．“x+1x-3<0”是“x>-1”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．下列函数中，在区间(0,+∞)上为增函数的是A．y=log2xB．y=-xC．y=(12)xD．y=1x5．为了得到函数y＝sin2x-π3的图象，可以将函数y＝sin2x的图象A．向右平移π6个单位长度B．向右平移π3个单位长度C．向左平移π6个单位长度D．向左平移π3个单位长度6．过点A-1,3，B(3,-1)，且圆心在直线x-2y-1=0上的圆的标准方程为A．x+12+y+12=4B．x+12+y+12=16C．x-12+y2=13D．x-12+y2=57．已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左，右焦点分别为F1（–c，0），F2（c，0），过点F18\n且斜率为1的直线l交椭圆于点A，B，若AF2⊥F1F2，则椭圆的离心率为A．2-12B．2-1C．22D．128．下列导数运算正确的是A．sinx'=-cosxB．3x'=3xC．log2x'=1x⋅ln2D．1x'=1x29．已知sinα+π3+sinα=-435，则cosα+2π3=A．-45B．-35C．35D．4510．己知函数y=logax-1+2a>0且a≠1恒过定点A．若直线mx+ny=2过点A，其中m,n是正实数，则1m+2n的最小值是A．3+2B．3+22C．92D．511．若a>0,b>0，ab=a+b+1，则a+b的最小值为A．2+1B．22-2C．2+22D．412．设fx是定义在R上的奇函数,且f1=0,当x>0时，有恒成立，则不等式xfx>0的解集为A．-∞,0∪0,1B．-∞,-1∪0,1C．-1,0∪1,+∞D．-1,0∪0,1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f(x)=lnx-ax2，且函数f(x)在点(2，f(2))处的切线的斜率是-12，则a＝_____．14．已知实数x，y满足条件x+2y≥0x-y≤0,0≤y≤2则z=x+y的最小值为_____．15．若椭圆x236+y29=1的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为_____．16．若数列an的首项a1=12，且an=an+1an+1，则a200a300=_____．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．8\n17．（本小题满分10分）已知m＞0，p：x2﹣2x﹣8≤0，q：2﹣m≤x≤2+m．（1）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；（2）若m=5，“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数x的取值范围．18．（本小题满分12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝10，S6＝72，bn＝12an－30，(1)求通项公式an；(2)求数列{bn}的前n项和Tn的最小值．19．（本小题满分12分）ΔABC中，内角A ，B ，C的对边分别为a ，b ，c，ΔABC的面积为S，若43 S=b2+c2-a2．（1）求角A；（2）若a=2，b=23，求角C．8\n20．（本小题满分12分）已知O为坐标原点，抛物线y2=–x与直线y=k(x+1)相交于A，B两点．（1）求证：OA⊥OB；（2）当△OAB的面积等于10时，求实数k的值．21．（本小题满分12分）设函数fx=ex+ax+b在点0,f0处的切线方程为x+y+1=0.（1）求a,b的值，并求fx的单调区间；（2）证明：当x≥0时，fx>x2-4.22．（本小题满分12分）已知椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，该椭圆经过点P1,32，且离心率为12．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0长轴上一点S1,0作两条互相垂直的弦AB,CD．若弦AB,CD的中点分别为M,N，证明：直线MN恒过定点．8\n深圳市高级中学2022－2022学年第一学期期中考试高二文科数学参考答案题号123456789101112答案BBAAABBCDBCD13．1414．-215．-1216．30120117．【答案】（1）m≥4；（2）-3≤x<2或4<x≤7【解】（1）由x2﹣2x﹣8≤0得﹣2≤x≤4，即p：﹣2≤x≤4，记命题p的解集为A=[﹣2，4]，p是q的充分不必要条件，∴A⊊B，∴2-m≤-22+m≥4，解得：m≥4．（2）∵“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，∴命题p与q一真一假，①若p真q假，则-2≤x≤4x<-3或x>7，无解，②若p假q真，则x<-2或x>4-3≤x≤7，解得：﹣3≤x＜﹣2或4＜x≤7．综上得：﹣3≤x＜﹣2或4＜x≤7．18．【答案】(1)an=4n-2；（2）-225.【解】(1)由a3＝10，S6＝72，得a1+2d=10,6a1+15d=72,解得所以an＝4n－2.(2)由(1)知bn＝an－30＝2n－31.由题意知得≤n≤.因为n∈N＋，所以n＝15.所以{bn}前15项为负值时，Tn最小．可知b1＝－29，d＝2，T15＝－225.19．【答案】(1)A=π6;(2)C=π2或π6【解】(1)∵ΔABC中，b2+c2-a2=43 S=43⋅12bcsinA=2bc⋅3sinA∴cosA=b2+c2-a22bc=3sinA8\n∴tanA=33∵0<A<π∴A=π6(2)∵a=2，b=23，A=π6∴由asinA=bsinB得sinB=bsinAa=23⋅122=32∵0<B<5π6且B>A∴B=π3或2π3∴C=π2或π620．【答案】（1）证明见解析；（2）±16.【证明与解答】（1）显然k≠0．联立y2=–xy=k（x+1），消去x，得ky2+y–k=0．如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1≠0，x2≠0，由根与系数的关系可得y1+y2=–1k，y1·y2=–1．因为A，B在抛物线y2=–x上，所以y12=–x1，y22=–x2，y12·y22=x1x2．因为kOA·kOB=y1x1·y2x2=y1y2x1x2=1y1y2=–1，所以OA⊥OB．（2）设直线y=k（x+1）与x轴交于点N，令y=0，则x=–1，即N（–1，0）．因为S△OAB=S△OAN+S△OBN=12ON·|y1|+12ON·|y2|=12ON·|y1–y2|=12×1×(y1+y2)2-4y1y2=12(-1k)2+4，所以10=121k2+4，解得k=±16．21．【解析】8\n⑴f'(x)=ex+a，由已知，f'(0)=-1,f(0)=-1，故a=-2，b=-2.f'(x)=ex-2，当x∈(-∞,ln2)时，f'(x)<0，当x∈(ln2,+∞)时，f'(x)>0，故f(x)在x∈(-∞,ln2)单调递减，在x∈(ln2,+∞)单调递增；⑵f(x)>x2-4，即x2+2x-2ex<1，设g(x)=x2+2x-2ex,∴g'(x)=4-x2ex，x∈[0,2)时，g'(x)>0,x∈(2,+∞)时，g'(x)<0，所以g(x)在[0,2)递增，在(2,+∞)递减，所以．当x≥0时，fx>x2-4.22．【答案】（1）x24+y23=1;（2）47,0．【解】（1）解：∵点P1,32在椭圆上，∴1a2+94b2=1，又∵离心率为12，∴e=ca=12，∴a=2c，∴4a2﹣4b2=a2，解得a2=4，b2=3，∴椭圆方程为x24+y23=1．（2）证明：设直线AB的方程为x=my+s，m≠0，则直线CD的方程为x=-1my+s，联立x24+y23=1x=my+s，得3m2+4y2+6smy+3s2-12=0，设Ax1,y1，Bx2,y2，则y1+y2=-6sm3m2+4，y1y2=3s2-123m2+4，∴x1+x2=my1+smy2+s=m2y1y2+msy1+y2+s2=4s2-12m23m2+4，由中点坐标公式得M2s2-6m23m2+4,-3sm3m2+4，将M的坐标中的m用-1π代换，得CD的中点N2s2m2-63+4m2,3sm3+4m2，∴直线MN的方程为x-4m2-17my=4s7，m≠±1，令y=0得x=47s，∴直线MN经过定点47s,0，当m=0,±1时，直线MN也经过定点47s,0，综上所述，直线MN经过定点47s,0．当s=1时，过定点47,0．8\n8
