高二理科数学期末考试试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设全集，，，则等于()A．B．C．D．2．是（）A．最小正周期为的偶函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的奇函数3.如果命题“且”是假命题，“”也是假命题，则()A．命题“或”是假命题B．命题“或”是假命题C．命题“且”是真命题D．命题“且”是真命题4．用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（）A.B.C.D.5.以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）A.B.C.D.6．如图，四棱锥的底面是的菱形，且，，CABDP则该四棱锥的主视图（主视方向与平面垂直）可能是（）A．B．C．D．7．“”是“函数有零点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8．设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，真命题为（）-11-\nA．若与所成角相等，则B．若，则C．若，则D．若，则9．已知函数，正实数、、满足，若实数是函数的一个零点，那么下列四个判断：①；②；③；④．其中可能成立的个数为（）A．1B．2C．3D．410.曲线在横坐标为的点处的切线为，则点（3,2）到的距离是（）A．B．C．D．11．如图所示，是圆上的三个点，的延长线与线段交于圆内一点,若，则（）A．B．C．D．12．设分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.等差数列中，已知，则.14．曲线与轴所围成的图形面积为．15.设实数满足不等式组,则的取值范围是________.16．定义函数，若存在常数，对任意的，存在唯一的-11-\n，使得，则称函数在上的几何平均数为．已知，则函数在上的几何平均数为．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．（本小题满分10分）某公司欲招聘员工，从1000名报名者中筛选200名参加笔试，按笔试成绩择优取50名面试，再从面试对象中聘用20名员工．（1）随机调查了24名笔试者的成绩如下表所示：分数段[60，65)[65，70)[70，75)[75，80)[80，85)[85，90)人数126951请你预测面试的切线分数（即进入面试的最低分数）大约是多少？（2）公司从聘用的四男、、、和二女、中选派两人参加某项培训，则选派结果为一男一女的概率是多少？18．(本小题满分12分)已知函数的部分图象如图所示.(1)求函数的解析式；(2)若，求的值.19．（本题满分12分）如图，三棱锥中，底面，，，为的中点，点在上，且.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值.-11-\n20.（本小题满分12分）设函数，数列满足，，。(1)求数列的通项公式；(2)设，若对恒成立，求实数的取值范围.21．（本题满分12分）已知是椭圆的两焦点，是椭圆在第一象限弧上一点，且满足，若直线（且）与椭圆交于两点，（1）求点的坐标；（2）若的面积的最大值为，求实数的值．-11-\n22．（本小题满分12分）已知函数（1）求在区间上的最大值；（2）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点、，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？说明理由．高二理科数学期末考试试题参考答案CDCCBBADBACB13.3214.415.16．17.解：（1）设24名笔试者中有名可以进入面试，依样本估计总体可得：，解得：，从表中可知面试的切线分数大约为80分.答：可以预测面试的切线分数大约为80分.…………4分（2）从聘用的四男、二女中选派两人的基本事件有：（）,(),(),(),(),(),（）,(),(),(),（）,(),(),(),（）,共15种.…………6分记事件A：选派一男一女参加某项培训，事件A包含的基本事件有(),(),(),(),（）,(),(),()，共8种，…………8分∴.…………9分答：选派结果为一男一女的概率为.………10分-11-\n18．解：（1）由图象知………1分的最小正周期,故………3分将点代入的解析式得,………4分又,∴………5分故函数的解析式为…………………………………6分(2)即，………7分又，则，………8分所以.………9分又………12分19．（1）证明：∵底面，且底面，∴…………………1分由，可得…………………………2分又∵，∴平面…………………………3分又平面，∴…………………………4分∵,为中点，∴…………………………5分∵，平面…………………………6分（2）解法1：如图，以为原点、所在直线为轴、为轴建立空间直角坐标系.则…………………………7分-11-\n.…………………………8分设平面的法向量.由，，得，即……………（1）……………（2）取，则，.……………10分取平面的法向量为则，故平面与平面所成角的二面角（锐角）的余弦值为.…………12分解法2：取的中点，的中点，连接，∵为的中点，，∴.∵平面，平面∴.……………7分同理可证：.又，∴.…………8分则与平面所成的二面角的平面角（锐角）就等于平面与平面所成的二面角的平面角（锐角）又，，平面∴，∴…………9分又∵，∴平面-11-\n由于平面，∴而为与平面的交线，又∵底面，平面为二面角的平面角…………10分根据条件可得，在中，在中，由余弦定理求得…………11分故平面与平面所成角的二面角（锐角）的余弦值为.…………12分20.解：(1)∵，∴,…2分又∵，∴数列是以1为首项，公差为的等差数列．∴…4分(2)解法1：……8分因为恒成立，所以，-11-\n又在单调递增，故，即…………12分解法2：……8分因为恒成立，所以，又在单调递增，故，即…………12分21.解：（1）依题意，设点的坐标为，，∵，∴……1分即①，又是椭圆上一点，∴，②……2分联立①②得，，……3分又，∴故点的坐标为……4分（2）∵直线的方程为，设联立方程，得，消去得……5分∴，……6分-11-\n由，得，又，则……7分易知点到直线的距离为，∴……8分令，则，令（），是二次函数，其图象是开口向下的抛物线，对称轴为，且……9分又面积的最大值为时，也有最大值为，故，……10分∴在单调递增，∴……11分解得或（舍去）∴当，即（满足）时，面积的最大值为。……12分22．解：（1）∵当时，，………1分令得或，当变化时，的变化情况如下表：-0+0--11-\n递减极小值递增极大值递减………3分又，，∴在区间上的最大值为2………4分（2）假设曲线上存在两点、满足题设要求，则点只能在轴的两侧，不妨设则，显然．………5分∵是以为直角顶点的直角三角形，∴，即．（1）是否存在两点、等价于方程（1）是否有解．………6分若，则代入（1）式得，即，而此方程无实数解，因此．………8分∴，代入（1）式得，即．（*）………9分考察函数，则，∴在上单调递增，∵，∴，当时，，∴的取值范围是．………11分∴对于，方程（*）总有解，即方程（1）总有解．因此对任意给定的正实数，曲线上总存在两点、，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上．………12分-11-
