汕头市金山中学2022-2022学年度第一学期期中考试高二理科数学试题卷本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合，则的元素个数为()A.0B.1C.2D.32.一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为( )3.圆与圆的位置关系为（）A.内切 B.相交 C.外切D.相离4.下列命题中正确的有（）个。①若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行。②空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。③四面体的四个面中，最多有四个直角三角形。④若两个平面垂直，则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线。⑤若两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面。A.1B.2C.3D.45.直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（ ）A．30°B．45°C．60°D．90°6.已知过点和的直线与直线平行，则的值为A. B. C. D.7.已知满足约束条件，若的最大值为4，8\n则=（ ）A．B．C．D．8.过点的直线，将圆形区域分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程是A.B.C.D.9.过点可作圆的两条切线，则实数的取值范围为（ ）A．或B．C．D．或10.若是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为A.B.C.D.11.已知矩形，＝1，．将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中A．存在某个位置，使得直线与直线垂直B．存在某个位置，使得直线与直线垂直C．存在某个位置，使得直线与直线垂直D．对任意位置，三对直线“与”，“与”，“与”均不垂直12.在平面直角坐标系中，两点，间的“﹣距离”定义为．则平面内与x轴上两个不同的定点的“﹣距离”之和等于定值（大于||）的点的轨迹可以是（ ）ABCD8\n第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知两直线。当时，。14.在平面直角坐标系中，点关于直线的对称点的坐标为__________.15.已知则的取值范围是__________.16.设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则||·||的最大值是________．三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在中，已知,。（1）求的长。（2）求的值。18.为数列的前项和。已知，。（1）求的通项公式。（2）设，求数列的前项和。19.如图，在三棱柱中，,在底面的射影为的中点，是的中点。（1）证明：平面;（2）求二面角的平面角的余弦值。8\n20.在平面直角坐标系中，已知圆和圆（1）若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）设为平面上的点，满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标。21.已知过原点的动直线与圆:相交于不同的两点.（1）求圆的圆心坐标。（2）求线段的中点的轨迹的方程,并求出轨迹中的取值范围。（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围：若不存在，说明理由。8\n参考答案CABCCBBAACBA13.14.15.16.16.解析：易求定点A(0,0)，B(1,3)．当P与A和B均不重合时，因为P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝时，等号成立)，当P与A或B重合时，|PA|·|PB|＝0，故|PA|·|PB|的最大值是5.答案：517.解（1）(2),,18.（I）由an2+2an=4Sn+3，可知an+12+2an+1=4Sn+1+3两式相减得an+12﹣an2+2（an+1﹣an）=4an+1，即2（an+1+an）=an+12﹣an2=（an+1+an）（an+1﹣an），∵an＞0，∴an+1﹣an=2，∵a12+2a1=4a1+3，∴a1=﹣1（舍）或a1=3，则{an}是首项为3，公差d=2的等差数列，∴{an}的通项公式an=3+2（n﹣1）=2n+1：（Ⅱ）∵an=2n+1，∴bn===（﹣），∴数列{bn}的前n项和Tn=（﹣+…+﹣）=（﹣）=．19.（Ⅰ）设E为BC的中点，由题意的.因为AB=AC，所以.故.由D，E分别为的中点，得，从而,所以为平行四边形.故8\n又因为，所以（Ⅱ）作.由.由，得由，因此的平面角.由，得，由余弦定理得20解：(1)设直线的方程为：，即由垂径定理，得：圆心到直线的距离，点到直线距离公式，得：求直线的方程为：或，即或(2)设点P坐标为，直线、的方程分别为：，即：因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：：圆心到直线与直线的距离相等。故有：，化简得：关于的方程有无穷多解，有：,或8\n解之得：点P坐标为或。21.（1）圆：化为，所以，圆的圆心坐标为；（2）设线段的中点，由圆的性质可得垂直于直线设直线的方程为（易知直线的斜率存在），所以，，所以所以即因为动直线与圆相交，所以，所以，所以，所以，解得或，又因为，所以.所以满足，即的轨迹的方程为.（3）由题意知直线表示过定点，斜率为的直线.结合图形，表示的是一段关于轴对称，起点为按逆时针方向运动到的圆弧.根据对称性，只需讨论在X轴对称下方的圆弧.设，则,而当直线与轨迹相切时，，解得.在这里暂取，因为，所以结合图形，可得对于X轴对称下方的圆弧，当或时，8\n直线L与X轴对称下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知或.综上所述：当或时，直线与曲线只有一交点.答案:（1）；（2）；（3）存在，或．8
