揭阳市2022年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：棱锥的体积公式：．其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，则中元素的个数为A．8B．7C．6D．52．已知复数，则在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4．已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则该双曲线的离心率为A.B.C.2D.5．不等式组表示的平面区域的面积为A.7B.5C.3D.146．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是A.若；B.若；C.若；D.若；7．将5本不同的书摆成一排，若书甲与书乙必须相邻，而书丙与书丁不能相邻，则不同的摆法种数为A.48B.24C.20D.128．非空数集如果满足：①；②若对有，则称是“互倒集”.给出以下数集：①；②；③；④.其中“互倒集”的个数是A.4B.3C.2D.1二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9－13题）9．已知，若，则的值为．10．已知函数的图象经过点，则其反函数的解析式=．11．在△ABC中，的对边分别为，若，，，则______．12．某射击运动员在练习射击中，每次射击命中目标的概率是，则这名运动员在10次射击中，至少有9次命中的概率是．（记，结果用含的代数式表示）13．已知函数对应的曲线在点处的切线与轴的交点为，若，则．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，直线被圆截得的弦长为.15．（几何证明选讲选做题）如图1，BE、CF分别为钝角△ABC的两条高，已知则BC边的长为．图1三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.(本小题满分12分)已知函数的最小正周期为.（1）求的值；（2）若，，求的值.17.(本小题满分12分)图2是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI）的趋势图.图2（1）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图3中作出这些数据的频率分布直方图；（2）当空气质量指数（AQI）小于100时，表示空气质量优良．某人随机选择当月1日至10日中的某一天到达该市，并停留2天，设是此人停留期间空气质量优良的天数，求的数学期望．（图中纵坐标1/300即，以此类推）图318．（本小题满分14分）如图4，已知中，，，⊥平面，、分别是、的中点．（1）求证：平面⊥平面；（2）求四棱锥B-CDFE的体积V；（3）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．图419.(本小题满分14分)已知为数列的前项和，（），且．（1）求的值；（2）求数列的前项和；（3）设数列满足，求证：．20.(本小题满分14分)在平面直角坐标系中，已知点，点在直线上，点满足，，点的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）设直线与曲线有唯一公共点，且与直线相交于点,试探究，在坐标平面内是否存在点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.21.(本小题满分14分)已知函数，，其中,（e≈2.718）．（1）若函数有极值1，求的值；（2）若函数在区间上为减函数，求的取值范围；（3）证明：．揭阳市2022年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．一、选择题：CBBDACBC解析：7.不同的摆法种数为:或．8.集合①，当时为空集；集合②即，，故集合②是互倒集；对于集合③当时，，当时，显然非互倒集；对于集合④，且，故集合④是互倒集.二、填空题：9.；10.；11.；12.；13.3；14.；15..解析：12.所求概率.13.由得曲线的切线的斜率，故切线方程为，令得，故数列是首项，公比的等比数列，又，所以.15．依题意得，因△BEA∽△CFA得,所以．三、解答题：16．解：（1）由得----------------------------------------------------2分（2）解法1：由得-----------------------3分∵，∴，--------------------------------------------4分∴-----------------------------------------6分∴----------------------------------------------------8分----------------------------------------10分----------------------------------------------------12分[解法2：由得，--------------------------3分即-------------------------------------------------5分-----------------------①---------------------------------6分将①代入并整理得，---------------8分解得：，-------------------------②----------------10分∵∴，∴，故②中负值不合舍去，----------------11分∴.-----------------------------------------------------------12分]17．解：（1）频率分布表和频率分布直方图如下图示：--3分--7分（2）设表示事件“此人于当月日到达该市”（=1,2，…，10）.则（=1,2，…，10）-------------------------------------------------8分依题意可知，的所有可能取值为0,1,2且P(=0)=P(A5)+P(A6)=,----------------------------------------------------9分P(=1)=P(A1)+P(A4)+P(A7)+P(A10)=，---------------------------------------10分P(=2)=P(A2)+P(A3)+P(A8)+P(A9)=，--------------------------------------11分所以的数学期望．-----------------------------------12分18.（1）证明：AB⊥平面BCD，平面，-------------------1分又，，平面，------------------------------2分又E、F分别是AC、AD的中点，∴---------------------------------------3分∴EF⊥平面ABC又平面BEF，平面BEF⊥平面ABC-----------4分（2）解法1：由（1）知EFCD∴--------------------------------5分∴---------------------6分-------------------8分[解法2：取BD中点G，连结FC和FG，则FG//AB，-----5分∵AB⊥平面BCD，∴FG⊥平面BCD，-----------------6分由（1）知EF⊥平面ABC，∴.-----------------8分]（3）解法1：以点C为坐标原点，CB与CD所在的直线分别为x、y轴建立空间直角坐标系如图示，--------------------------------------------------------9分则,∴,,---------------10分设平面BEF的一个法向量为，由得令得，∴，------------------12分∵是平面BCD的法向量，设平面BEF与平面BCD所成的锐二面角大小为，则,∴所求二面角的余弦值为．---------------------------------------------------14分[解法2：过点B作//CD，则平面EF//CD，∴∴平面,∴为平面BEF与平面BCD的交线，---------------------------------------------10分∵平面，平面，∴，∴又，∴∴为平面BEF与平面BCD所成的锐二面角的平面角，------------------------12分在中，∵BE=CE，∴，即所求二面角的余弦值为．----------------14分]19.解：（1）由和可得--------------------2分（2）解法1：当时，由得，---------------------------------4分---------------------6分∴数列是首项，公差为6的等差数列，∴-------------------------------------------------------7分∴-----------------------------------------------------8分[解法2：当时，由------------------4分可得,---------------------------------6分∴数列是首项,公差为3的等差数列，，即.--------------------------------------8分]（3）证明：------------------10分--------------------11分∴-------------13分命题得证．----------------------------------------14分20.解：(1)设,由得,-------------------------------------1分又，∴,,.--------------------3分由得即，∴曲线的方程式为.----------------------------------------------------5分（2）解法1：由曲线C关于轴对称可知，若存在点，使得以为直径的圆恒过点，则点必在轴上，设，--------------------------------------------------6分又设点，由直线与曲线有唯一公共点知，直线与曲线相切，由得，∴，---------------------------------------7分∴直线的方程为，--------------------------------------------8分令得，∴点的坐标为，-----------------------------9分---------------------------------------10分∵点在以为直径的圆上，∴---------------12分要使方程对恒成立，必须有解得，-------------------------13分∴在坐标平面内存在点，使得以为直径的圆恒过点，其坐标为．---------14分[解法2：设点，由与曲线有唯一公共点知，直线与曲线相切，由得，∴，---------------------------------------6分∴直线的方程为，--------------------------------------------7分令得，∴点的坐标为，-------------------------8分∴以为直径的圆方程为：--------①-----10分分别令和，由点在曲线上得，将的值分别代入①得：-------------------------------②--------------------------------------------------------③②③联立解得或，-----------------------------------------------12分∴在坐标平面内若存在点，使得以为直径的圆恒过点，则点必为或，将的坐标代入①式得，①式，左边==右边，将的坐标代入①式得，①式，左边=不恒等于0，------------------------------------13分∴在坐标平面内是存在点，使得以为直径的圆恒过点，点坐标为为．--14分]21.解：（1）∵，∴，---------------------------------------------------------------1分①若，则对任意的都有，即函数在上单调递减，函数在上无极值；----------------------------------------------------2分②若，由得，当时，当时，，即函数在单调递减，在单调递增，∴函数在处有极小值，∴，∴.---------------------------------------------------4分（2）解法1：∵函数=在区间上为减函数且当时，，∴在上恒成立在上恒成立，----5分设，则----7分当时，，所以在上恒成立，即函数在上单调递减，-------------------8分∴当时，，∴.-----------------------------------------------------------------------9分[解法2：∵函数=在区间上为减函数∴对，-----------（）恒成立，--------------5分∵，∴，当时，（）式显然成立；----------------------------------------------------6分当时，（）式在上恒成立，设，易知在上单调递增，-------------------------------7分∴，∴，------------------------------------------------------------8分综上得.-------------------------------------------------------------9分]（3）证法1：由（2）知，当时，,，------------------------------------------10分∵对任意的有，∴∴，--------------------------------------12分∴，即．--------------------------------------------------------14分[证法2：先证明当时，令,则对任意的恒成立，----------------10分∴函数在区间上单调递减，∴当时，，----------------------------------11分∵对任意的，而---------------------------------------------12分∴.----14分]
