2022-2022学年广东省揭阳一中高一（下）第二次段考数学试卷（文科）一、选择题（单项选择题，每小题5分，共50分）1．（5分）sin15°等于（ ） A．B．C．D．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：根据sin15°=sin（45°﹣30°），利用两角和的正弦公式运算求得结果．解答：解：sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=﹣=，故选D．点评：本题主要考查两角和的正弦公式的应用，属于中档题． 2．（5分）sin17°sin223°+sin73°cos43°=（ ） A．B．C．D．考点：两角和与差的正弦函数；诱导公式的作用．专题：三角函数的求值．分析：先利用诱导公式把原式的各项化简后，然后利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求出原式的值．解答：解：sin17°sin223°+sin73°cos43°=sin17°•sin（180°+43°）+sin（90°﹣17°）•cos（90°﹣47°）=sin17°（﹣sin43°）+cos17°•sin47°=sin47°cos17°﹣cos47°•sin17•=sin（47°﹣17°）=sin30°=故选：A．点评：此题考查学生灵活运用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简求值，学生做题时应注意角度的灵活变换． 3．（5分）已知，，则tan2α=（ ） A．B．C．﹣D．考点：二倍角的正切．专题：计算题．分析：依题意，可求得sinα及tanα，利用tan2α=即可求得答案．11解答：解：∵α∈（﹣，0），cosα=，∴sinα=﹣．∴tanα=﹣，∴tan2α===．故选D．点评：本题考查二倍角的正切，求得tanα的值是关键，考查运算能力，属于中档题． 4．（5分）为得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：直接了根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解答：解：把函数的图象向左平移个长度单位，可得函数y=cos（x+﹣）=cos（x+）的图象，故选C．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题． 5．（5分）函数y=logax（a＞0，a≠1）的反函数的图象过点，则a的值为（ ） A．2B．1C．D．3考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：利用互为反函数的图象的性质即可解出．解答：解：∵函数y=logax（a＞0，a≠1）的反函数的图象过点，∴点在原函数的图象上，∴，∴，解得a=．故选C．点评：熟练掌握互为反函数的图象的性质是解题的关键． 116．（5分）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积是（ ） A．8πB．C．12πD．9π考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题．分析：先求出圆锥的底面半径和母线长，然后再求圆锥的全面积．解答：解：一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为4，则它的边长是a，所以a2=4，∴a=4，这个圆锥的全面积是：4π+×4π×4=12π故选C．点评：本题考查圆锥的有关知识，考查空间想象能力，是基础题． 7．（5分）已知，则的值为（ ） A．B．C．3D．﹣3考点：同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：把要求的式子的分子分母同时除以cos2α得，把代入，运算求得结果．解答：解：∵，∴===．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题． 8．（5分）已知两点A（﹣2，0），B（0，2），点C是圆x2+y2﹣2x=0上的任意一点，则△ABC的面积最小值是（ ） A．3﹣B．3+C．D．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：求出直线方程，圆心坐标与半径，从而可得圆上的点到直线距离的最小值进而可求△ABC的面积最小值．解答：解：直线AB的方程为，即x﹣y+2=0圆x2+y2﹣2x=0，可化为（x﹣1）2+y2=1，∴圆心（1，0）到直线的距离为d==∴圆上的点到直线距离的最小值为11∵|AB|=∴△ABC的面积最小值是=故选A．点评：本题考查直线与圆的方程，考查点到直线距离公式，考查三角形面积的计算，属于中档题． 9．（5分）（2022•温州模拟）若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为（ ） A．1B．C．D．2考点：正弦函数的图象；余弦函数的图象．分析：可令F（x）=|sinx﹣cosx|求其最大值即可．解答：解：由题意知：f（x）=sinx、g（x）=cosx令F（x）=|sinx﹣cosx|=|sin（x﹣）|当x﹣=+kπ，x=+kπ，即当a=+kπ时，函数F（x）取到最大值故选B．点评：本题主要考查三角函数的图象和函数解析式的关系．属基础题． 10．（5分）已知函数满足：对任意实数x1，x2，当x1＜x2时，总有f（x1）﹣f（x2）＞0，那么实数a的取值范围是（ ） A．B．C．D．考点：函数单调性的性质；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：由已知可得函数是（﹣∞，+∞）上的减函数，则分段函数在每一段上的图象都是下降的，且在分界点即x=1时，第一段函数的函数值应大于等于第二段函数的函数值．由此不难判断a的取值范围．解答：解：∵对任意实数x1，x2，当x1＜x2时，总有f（x1）﹣f（x2）＞0，∴函数是（﹣∞，+∞）上的减函数，当x≥1时，y=logax单调递减，∴0＜a＜1；而当x＜1时，f（x）=（3a﹣1）x+4a单调递减，∴a＜；又函数在其定义域内单调递减，故当x=1时，（3a﹣1）x+4a≥logax，得a≥，11综上可知，≤a＜．故选A点评：分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者． 二、填空题（每小题5分，共20分）11．（5分）化简：已知= sinα﹣cosα ．考点：同角三角函数间的基本关系．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由α的范围，利用正弦、余弦函数图象得到sinα大于cosα的值，进而确定出sinα﹣cosα大于0，所求式子被开方数利用二倍角的正弦函数公式及完全平方公式化简，再利用二次根式的化简公式计算即可得到结果．解答：解：∵＜α＜，∴sinα﹣cosα＞0，则==|sinα﹣cosα|=sinα﹣cosα．故答案为：sinα﹣cosα点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦函数公式，完全平方公式，以及二次根式的化简公式，熟练掌握基基本关系及公式是解本题的关键． 12．（5分）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图）∠ABC=45°，AB=AD=1，DC⊥BC，则这个平面图形的面积为 2+ ．考点：平面图形的直观图．专题：计算题．分析：根据所给的直观图中直角梯形的数据，做出下底的长度，根据梯形的面积公式求出梯形的面积，根据原来的平面图形的面积是直观图面积的2倍，做出平面图形的面积．解答：解：∵直角梯形∠ABC=45°，AB=AD=1，∴BC=1+，∴直观图的面积是∵原来的平面图形的面积是直观图面积的2倍，11∴平面图形的面积是2×=2+故答案为：2+点评：本题考查平面图形的直观图，本题解题的关键是知道平面图形与直观图面积之间的关系，直接利用这种关系得到要求的结果． 13．（5分）阅读右面的程序框图，则输出的S= 30 ．考点：循环结构．专题：计算题．分析：通过分析循环框图，当计数变量i=5时，结果循环，输出S．解答：解：程序框图的用途是数列求和，当i=5时结束循环，输出S的值为：S=12+22+32+42=1+4+9+16=30．故答案为：30．点评：本题考查程序框图的作用，能够分析出计数变量的数值，结束循环是解题的关键． 14．（5分）在△ABC中，A，B，C是其三个内角，设．当f（B）﹣m＜2恒成立时，实数m的取值范围是 （1，+∞） ．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：利用三角函数的恒等变换化简f（B），当f（B）﹣m＜2恒成立时，有2sinB＜1+m恒成立，故有1+m＞2，解得m＞1，由此可得实数m的取值范围．解答：解：在△ABC中，∵=4sinB•+cos2B=2sinB+2sin2B+cos2B=2sinB+1．当f（B）﹣m＜2恒成立时，有2sinB＜1+m恒成立，∴1+m＞2，m＞1，故实数m的取值范围为（1，+∞），故答案为（1，+∞）．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的最值以及函数的恒成立问题，属于中档题．11 三、解答题（共6大题，共80分，写出详细解答过程）15．（12分）（2022•广州一模）已知函数f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若点在函数的图象上，求φ的值．考点：三角函数的周期性及其求法；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题；综合题．分析：（1）化函数f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ，为f（x）=sin（x+φ），直接求函数f（x）的最小正周期；（2）把代入函数，根据0＜φ＜π求φ的值．解答：（1）解：∵f（x）=sin（x+φ），∴函数f（x）的最小正周期为2π．（2）解：∵函数，又点在函数的图象上，∴．即．∵0＜φ＜π，∴．点评：本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力． 16．（12分）已知：、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）（1）若||=2，且∥，求的坐标；（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题．分析：（1）设，由||=2，且∥，知，由此能求出的坐标．（2）由，知，整理得，故，由此能求出与的夹角θ．11解答：解：（1）设，∵||=2，且∥，∴，…（3分）解得或，…（5分）故或．…（6分）（2）∵，∴，即，…（8分）∴，整理得，…（10分）∴，…（12分）又∵θ∈[0，π]，∴θ=π．…（14分）点评：本题考查平面向量的坐标运算和数量积判断两个平面垂直的条件的灵活运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 17．（14分）已知，0＜β＜，cos（+α）=﹣，sin（+β）=，求sin（α+β）的值．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：根据α、β的范围，确定+α、+β的范围，求出sin（+α）、cos（+β）的值，利用sin（α+β）=﹣sin[π+（α+β）]=﹣sin[（+α）+（+β）]，展开，然后求出它的值即可．解答：解：∵＜α＜，∴＜+α＜π．又cos（+α）=﹣，∴sin（+α）=．又∵0＜β＜，∴＜+β＜π．11又sin（+β）=，∴cos（+β）=﹣，∴sin（α+β）=﹣sin[π+（α+β）]=﹣sin[（+α）+（+β）]=﹣[sin（+α）cos（+β）+cos（+α）sin（+β）]=﹣[×（﹣）﹣×]=．所以sin（α+β）的值为：．点评：本题是基础题，考查三角函数值的求法，注意角的范围的确定，sin（α+β）=﹣sin[π+（α+β）]=﹣sin[（+α）+（+β）]是集合本题的根据，角的变换技巧，三角函数的化简求值中经常应用，注意学习和总结． 18．（14分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=．（1）求四棱锥S﹣ABCD的体积；（2）求证：面SAB⊥面SBC；（3）求SC与底面ABCD所成角的正切值．考点：直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．专题：综合题．分析：（1）由题设条四棱锥S﹣ABCD的体积：V==，由此能求出结果．（2）由SA⊥面ABCD，知SA⊥BC，由AB⊥BC，BC⊥面SAB，由此能够证明面SAB⊥面SBC．（3）连接AC，知∠SCA就是SC与底面ABCD所成的角．由此能求出SC与底面ABCD所成角的正切值．解答：（1）解：∵底面是直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=．∴四棱锥S﹣ABCD的体积：V====．11（2）证明：∵SA⊥面ABCD，BC⊂面ABCD，∴SA⊥BC，∵AB⊥BC，SA∩AB=A，∴BC⊥面SAB∵BC⊂面SAB∴面SAB⊥面SBC．（3）解：连接AC，∵SA⊥面ABCD，∴∠SCA就是SC与底面ABCD所成的角．在三角形SCA中，∵SA=1，AC=，∴．…10分点评：本题考查棱锥的体积的求法，面面垂直的证明和直线与平面所成角的正切值的求法．解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化． 19．（14分）已知A，B，C是△ABC的三个内角，向量，且．（1）求角A；（2）若，求tanC．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：三角函数的求值．分析：（1）△ABC中，由向量，且，可得sinA﹣cosA=1，求得．结合0＜A＜π，求得A的值．（2）利用三角函数的恒等变换化简所给的等式为，解得tanB的值，再由tanC=﹣tan（A+B），利用两角和的正切公式运算求得结果．解答：解：（1）△ABC中，由向量，且，可得sinA﹣cosA=1，即，∴．…（4分）而∵0＜A＜π，∴，…（5分）∴，即∴．…（6分）（2）∵，11∴解得tanB=2，…（11分）∴．…（14分）点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换及化简求值，根据三角函数的直求角，属于中档题． 20．（14分）已知幂函数f（x）=x（2﹣k）（1+k），k∈Z，且f（x）在（0，+∞）上单调递增．（1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）的解析式；（2）若F（x）=2f（x）﹣4x+3在区间[2a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围；（3）试判断是否存在正数q，使函数g（x）=1﹣qf（x）+（2q﹣1）x在区间[﹣1，2]上的值域为．若存在，求出q的值；若不存在，请说明理由．考点：二次函数的性质；幂函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由已知f（x）在（0，+∞）上单调递增，结合幂函数的单调性与指数的关系可构造关于k的不等式，解不等式求出实数k的值，并得到函数f（x）的解析式；（2）由（1）中结果，可得函数F（x）的解析式，结合二次函数的图象和性质，可构造关于a的不等式，解不等式求出实数a的取值范围；（3）由（1）中结果，可得函数g（x）的解析式，结合二次函数的图象和性质，可求出q的值．解答：解：（1）由题意知（2﹣k）（1+k）＞0，解得：﹣1＜k＜2．…（2分）又k∈Z∴k=0或k=1，…（3分）分别代入原函数，得f（x）=x2．…（4分）（2）由已知得F（x）=2x2﹣4x+3．…（5分）要使函数不单调，则2a＜1＜a+1，则．…（8分）（3）由已知，g（x）=﹣qx2+（2q﹣1）x+1．…（9分）假设存在这样的正数q符合题意，则函数g（x）的图象是开口向下的抛物线，其对称轴为，因而，函数g（x）在[﹣1，2]上的最小值只能在x=﹣1或x=2处取得，又g（2）=﹣1≠﹣4，从而必有g（﹣1）=2﹣3q=﹣4，解得q=2．此时，g（x）=﹣2x2+3x+1，其对称轴，∴g（x）在[﹣1，2]上的最大值为，符合题意．∴存在q=2，使函数g（x）=1﹣qf（x）+（2q﹣1）x在区间[﹣1，2]上的值域为．…（14分）点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，幂函数的性质，熟练掌握基本初等函数的图象和性质是解答本题的关键．11
